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摘 要:罗尔中值定理是数学分析中最重要的结论之一,也是研究函数特性的理论基础和有力工具.本文将对罗尔中值定理的推广结论作进一步的讨论与总结,这有助于学生加深对该定理的理解.
关键词:罗尔定理;推广;证明
中图分类号:O171 文献标识码:A
1.前言
周知,微分中值定理是研究函数特性的理论基础和有力工具,它不仅是数学分析中最重要的结论之一,而且在以数学分析为基础的后续课程中,也是研究问题的重要辅助手段,发挥着重要的作用.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理以及泰勒定理,其中罗尔中值定理是最基本的也是应用最广泛的中值定理.首先给出罗尔中值定理的内容,参见文献[1-3]等.
罗尔(Rolle,1652-1719)定理:若函数满足如下条件:
(1)在闭区间上连续,
(2)在开区间内可导,
(3),
则在内至少存在一点,使得.
本文试图对罗尔中值定理的推广性结论作进一步的思考和总结,具体如下:
(i)将该定理中的有限闭区间条件推广至更一般的有限开区间、半无限区间或、无穷区间的条件;
(ii)将条件推广至极限形式,即,其中可能为,此时是指;類似地,可能为,此时是指.
2.主要结论及其证明
本节将叙述本文的主要结论,其中定理1考虑有限开区间情形.
定理1 设函数在内可导且,则在内至少存在一点,使得.
证明:令
显然,满足罗尔中值定理的条件,故存在,使得.
在第二个定理中,我们讨论无穷区间上的结论.
定理2 设函数在内可导且,则在内至少存在一点,使得.
证明:令,,,且.從而由定理1知存在,使得.因此取,则.
本文的最后两个定理分别考虑半无限区间或情形.
定理3 设函数在內可导且,则在内至少存在一点,使得.
证明:取,令,此时可以转化为定理1. £
定理4 设函数在内可导且,则在内至少存在一点,使得.
证明:类似定理3的证明可得. £
3.总结
罗尔中值定理作为最基本的也是应用最广泛的微分中值定理,学好弄懂该定理及其推广形式对后续微分中值定理以及数学分析中的其他内容的学习是至关重要的。因此,笔者认为在教学过程中只要讲透彻该定理的条件和结论,讲清楚该定理的推广思路和方法,由易到难,层层推进,这样不仅能够培养学生的分析能力和分析思维,也能够激发学生强烈的求知欲与学习兴趣。
参考文献
[1] 徐森林,薛春花.数学分析(第一册)[M].北京:清华大学出版社,2005年9月.
[2] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006年.
[3] 陈纪修,於崇华,金路. 数学分析(上册)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004年.