摘 要: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.连续函数又是我们关注的一类函数,函数极限的存在性、可微性,以及有界性等问题都与函数的连续性有着一定的联系.文章讨论连续函数的有界性.
关键词: 函数 连续 有界
闭区间上连续函数的有界性定理,即:
定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数f(x)在闭区间[a,b]上一定有界.
证明:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.根据连续函数的局部有界性定理,对于任意x∈[a,b],存在正数M及正数δ,当x∈(x-δ,x+δ)∩[a,b]时,有|f(x)|≤M.作开区间集
J={(x-δ,x+δ)||f(x)|≤M,x∈[a,b],x∈(x-δ,x+δ)∩[a,b]},
显然J覆盖了闭区间[a,b].由有限覆盖定理,存在J中的有限个开区间
(x-δ,x+δ),(x-δ,x+δ),…,(x-δ,x+δ),
它们也覆盖了闭区间[a,b].取M=max{M,M,…,M},
于是对于任意的x∈[a,b],存在i,1≤i≤n,使得x∈(x-δ,x+δ),有:
|f(x)|≤M≤M.即函数f(x)在闭区间[a,b]有界.
但是,如果上述定理的条件中闭区间[a,b]改为开区间(半开半闭区间、无穷区间)时,函数不一定是有界函数,例如:函数f(x)=在开区间(0,1)连续,函数f(x)=在开区间(0,1)是无界函数.又如函数f(x)=x在任何有限区间都是有界函数,但(-∞,+∞)在上是无界函数.文章讨论在一定条件下,可保证连续函数是有界函数.
结论1:若函数f(x)在[a,b)连续,且f(x)存在,则函数f(x)在[a,b)有界.
证明:设f(x)=A,从而
?埚ε=1,?埚δ>0,?坌x∶x∈(b-δ,b)?奂[a,b),有|f(x)|≤1+|A|.
因为函数f(x)在闭区间[a,b-δ]连续,从而函数f(x)在闭区间[a,b-δ]上有界.
即?埚M>0,当X∈[a,b-δ],使得|f(x)|≤M.
取M=max(1+|A|,M),于是?坌x∈[a,b),有|f(x)|≤M,
即函数f(x)在[a,b)有界.
结论1′:若函数f(x)在(a,b]连续,且极限f(x)存在,则函数f(x)在(a,b]有界.
证明:设f(x)=A,与结论1的证明类似.
结论2:若函数f(x)在(a,b)上连续,且极限f(x)与f(x)都存在,则函数f(x)在(a,b)有界.
证明:设f(x)=A,f(x)=B
设F(x)=A( x=a)f(x) ( a<x<b)B (x=b),
由于F(x)=f(x)=A
F(x)=f(x)=B
及函数f(x)在(a,b)上连续,所以函数F(x)在闭区间[a,b]上连续,根据闭区间上连续函数的有界性定理,函数F(x)在闭区间[a,b]上有界,因为在(a,b)内f(x)=F(x),从而函数f(x)在(a,b)有界.
结论3:若函数f(x)在[a,+∞)上连续,且极限f(x)存在,则函数f(x)在[a,+∞)有界.
证明:设f(x)=A,即:
?埚ε=1,?埚B>0,(B>a)?坌x∶x>B,有|f(x)-A|<1,
从而当x∈(B,+∞)时,|f(x)|<1+|A|
由于函数f(x)在[a,+∞)连续,当然在[a,B]?奂[a,+∞)上连续,
故由闭区间上连续函数的有界性,?埚M>0,?坌x∈[a,B],
有|f(x)|<M,取M=max(1+|A|,M),
于是?埚M>0,?坌x∈[a,+∞),有|f(x)|≤M,
即函数f(x)在[a,+∞)上有界.
结论3′:若函数f(x)在(-∞,b]上连续,且极限f(x)存在,则函数f(x)在(-∞,b]有界.
结论4:若函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且极限f(x)存在,则函数在(-∞,+∞)有界.
证明:设f(x)=A,即?埚ε=1,?埚B>0, ?坌x∶|x|>B,有|f(x)-A|<1,从而|f(x)|<1+|A|,所以函数f(x)在(-∞,-B)∪(B,+∞)上有界.已知函数在(-∞,+∞)上连续,当然在[-B,B]?奂(-∞,+∞)上连续,由闭区间上连续函数的有界性,?埚M′>0, ?坌x∈[-B,B],
|f(x)|≤M′,取M=max(1+|A|,M′).
于是?埚M>0, ?坌x∈(-∞,+∞),有|f(x)|≤M,
即函数f(x)在(-∞,+∞)有界.
参考文献:
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