摘 要:该文讨论了在高中数学中,利用导数这个工具求函数切线的一般方法,研究了这方面的高考题型。在新课程标准的指引下,数学教学方法也在不断改进、创新,而“变式教学”是被广泛运用且公认有效的教学手段。以往人们通常把变式教学划分为概念性变式和过程性变式两类;现在,人们已经把变式教学划分为概念和原理的变式教学、数学技能的变式教学、数学思想方法的变式教学三种类型。对中学教学来说,变式教学最重要的是可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律,帮助学生使所学的知识点融会贯通,从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力,体会学习数学的乐趣。
关键词:导数 函数 切线
中图分类号:O171 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2015)01(b)-0139-01
随着高考的改革,微积分的思想越来越在高中数学中占据重要的作用,而作为微积分的有力工具导数体现的更加明显。导数是研究函数的一个重要的工具,它在研究函数的单调性,函数的极值以及函数的最值问题等都是一个方便有效的工具。所以近些年来,导数的应用在高考中越来越占据十分重要的份量。另外利用导数的几何意义,求函数在某一点的切线方程也是近些年来高考的常考题型。在各省市的高考中,每年基本上都会出一道关于利用导数求曲线上一点处切线这方面的题目。下面我们讨论对于这种类型的高考题,它的解题的一般规律。
我们知道曲线上一点切线的斜率。从而曲线在的切线方程为
法线方程为
在利用这个公式的时候要注意到所求的点必须在这条曲线上,因此解题的时候就要分为在曲线上一点和过曲线外一点求曲线的切线两种情况来讨论。
1 求曲线上一点处的切线方程
求曲线上一点处的的切线方程是近些年来高考的主要题型,这些年来主要都是考查这种题型,做这种题目的时候,主要考查学生对于导数的求法以及导数的几何意义的理解。
例1(2014广西理科)求在点处的切线方程。
解 由于点在曲线上,故过点切线的斜率。故所求的切线方程为。
例2(2014全国理科)曲线在点(0,0)点切线方程为,求。
解 显然(0,0)点在曲线上,所以在(0,0)点切线的斜率,所以。
例3(2013广东)函数在点(1,k)处的切线平行于轴,求k。
解 点(1,k)在曲线上,过(1,k)点的切线斜率
又切线平行于x轴,故切线的斜率,解出。
2 过曲线外一点处的切线方程的求法
例4(2013连云港调研)函数,若过点A(0,16)且与相切的切线方程为求。
解 注意到A(0,16)并不在曲线上,要用以前的公式需要有切点的坐标,设切点为,切线的斜率为。所以过(0,16)点切线方程为
又在切线上,代入切线方程,有
解出,代入切线方程得。
在高考中利用导数求函数在一点处的切线方程题型一般比较固定,难度适中,学生要分清是求曲线上一点处的切线还是过曲线外一点处的切线。如果是曲线上一点处的切线,先求出切线的斜率,也就是在函数在切点哼坐标的导数,从而求出切线方程。如果是求过曲线外一点处的切线方程,先设出切点坐标,在利用导数求出切线的斜率,然后写出过曲线外一点处的切线方程,最后根据切点在切线上解出未知数。
参考文献
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