摘要:可微与可导及其关系是微积分学中的一个入门级重点,更是一个难点。以增量、高阶无穷小为突破口,分析了可微与微分的定义,通过严格证明论述其与可导的关系,并举例说明微分的基本求法。
关键词:增量高阶的无穷小可微可导
中图分类号:G642文献标识码: A文章编号:1672-1578(2014)3-0065-02
1 引言
导数与微分是学习微积分学中的钥匙。经常给人不好理解的印象,但如果以增量、高阶无穷小为突破口,去看微分的定义,并严格证明论述其与可导的关系,在加上一些简单微分的基本求,达到条理清晰、深入浅出的效果。
2 增量△y是否能写成A△x+O(△x)的意义
2.1增量△y是否能写成A△x+O(△x)
设函数y=f(x)在点x的某个邻域=3x2·△x+(3x·(△x)2+(△x)3)内有定义,则y=f(x)在点x的增量△y=f(x+△x)-f(x)。如果我们对△y=f(x+△x)-f(x)的结果进行整理,就会发现,对于有些函数y=f(x)及点x来说△y=f(x+△x)-f(x)的结果可以整理成△y=f(x+△x)-f(x)=A△x+O(△x),这里A与△x无关,
O(△x)是较△x高阶的无穷小,但是对于有些函数y=f(x)及点x来说△y=f(x+△x)-f(x)的结果无法整理成上述形式。
例如:y=x2在点x0的增量就可以写成上述形式,△y=(x0+△x)2-x02=2x0·△x+(△x)2,这里2x0与△x无关,(△x)2是较△x高阶的无穷小。但是,y=在点x=0的增量就无法写成上述形式,△y=f(0+△x)-f(0)=-0= 。
2.2增量△y是否能写成A△x+O(△x)的意义
为什么要研究函数y=f(x)在点x的增量△y是否能写成
A△x+O(△x)呢?可以看到,如果函数y=f(x)在点x的增量
△y能写成△y=A△x+O(△x),那么当△x的值很小时,
O(△x)值就会比A△x的值小的多,可以忽略不记,即当△x的值很小时△y≈A△x,这时我们只要知道A的值就可以很方便地计算出函数y=f(x)在点x的增量△y的近似值。可见,函数y=f(x)在点x的增量△y是否能写成A△x+O(△x)有着非常重要的意义。
3 可微的定义
3.1什么叫可微
为了表达起来方便,如果函数y=f(x)在点x的增量△y能写成A△x+O(△x),我们就说函数y=f(x)在点x可微,并把
A△x叫做函数y=f(x)在点x的微分,用专门的符号dy来表示,否则我们就说函数y=f(x)在点x不可微。
3.2 微分的定义
定义:设函数y=f(x)在点x及其邻域内有定义,如果函数在点x处的增量△y=f(x+△x)-f(x)可表示为△y=A·△x+O(△x),其中A与△x无关,并且O(△x)是比△x高阶的无穷小量,则称函数y=f(x)在点x处可微,并称A·△x为函数y=f(x)在点x处的微分,记作dy或df(x),即dy=A·△x。
3.3怎样判断可微
根据微分的定义,要判断函数y=f(x)在点x处是否可微,只需要求出函数y=f(x)在点处的增量△y,看它能不能写成
A·△x+O(△x)的形式,如果能,就说明函数y=f(x)在点x处可微。
例如:证明y=x3在(-∞,+∞)内任意一点x可微。
证明:△y=f(x+△x)-f(x)=(x+△x)3-x3
∴ y=x3在点x处可微
注意:①函数y=f(x)在任意点x处的微分也称为函数
y=f(x)的微分。
②由微分的定义可以看到,如果函数y=f(x)在点x可微,那么函数的微分dy与函数的增量△y仅相差一个较高阶的无穷小量,因此当△x很小时,△y可用dy来近似代替,即△y≈dy。
4 可微与可导的关系
4.1可微与可导关系及证明
函数y=f(x)在点x的可微与可导有如下关系:
定理:函数f(x)在点x可微的充要条件是函数f(x)在点x可导,且当f(x)在点x可微时,其微分一定是dy=f′(x)·△x。
证明:①必要性
∵ f(x)在点x可微
则△y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+O(△x)
=A+
=A
∴ f(x)在点x可导,且f′(x)=A
②充分性
∵ f(x)在点x可导
则=f′(x)存在
根据无穷小定理
-f′(x)=α (α是△x→0时的无穷小)
△y=f′(x)△x+α△x
∴f(x)在点x可微,且dy=f′(x)△x
这个结论说明一元函数的可微性与可导性是等价的。另外由这个定理可以看出,要求函数y=f(x)的微分,我们只须求出
f′(x),再乘以△x即可,即dy=f′(x)△x。
4.2微分的基本求法举例
例1,求函数y=cosx和y=ex的微分。
分析:根据前面的论述,要求函数的微分dy,我们可以先求出函数的导数f′(x),在乘以△x即可。
解:⑴ y′=-sinx, dy=-sinx·△x
⑵ y′=ex, dy=ex△x
注意:在微分的定义中,x是函数y=f(x)定义域内的任意一点,当x是某一定点x0时,函数y=f(x)在点x0的微分记为:
dy|或df(x)|,根据前面的论述dy|=f′(x0)△x。
例2 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分
分析:要求函数在某个具体点的微分,我们可以先求出函数的微分,然后把这个具体点的值代入即可。
(下转68页)
(上接65页)
解:y′=2x,dy=2x·△x,dy|=2△x,dy|=6△x
例3 求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分
解:y′=3x2,dy=3x2△x,d=3.22·0.02=0.24
例4 求函数y=x的微分,即求dx
解:dy=(x)′△x=△x
在这个例子中由于y=x,因此dy又可以写成dx,所以dx=△x,我们把dx称为自变量的微分,即自变量的微分等于自变量的增量。由于dx=△x,因此函数y=f(x)的微分也可表示为
dy=f′(x)dx,即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积,上式也可写作f′(x)=,即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商,这也是我们通常说的导数也称为微商,以前我们把看作是导数的整体记号,现在就可以把它看作是分式了。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系 数学分析(上册)[M].高等教育出版社,2007.
[2]苏德矿,吴明华,金蒙伟. 微积分(上)[M].高等教育出版社, 施普林格出版社, 2001.
[3]华东师范大学数学系 数学分析(上册)[M].人民教育出版社, 1981.
[4]龚怀云,刘跃武,陈红斌,向淑晃.数学分析[M].西安交通大学出版社, 2000.
作者简介:舒伟前(1979—),男,安徽安庆人,杭州技师学院基础部讲师,研究方向:数学教学与教学管理。