阿贝尔(1802~1829年)是挪威的数学家,他的一生虽然短暂而凄苦,但他的研究成果在数学史上的作用是巨大的。尽管众说纷纭,阿贝尔方法及其应用不可否认,尤其在数学分析中经常应用到。阿贝尔是从一个浅显的恒等式开始的,它可以直接导出阿贝尔引理,从而又可以导出一系列有价值的命题。下面简单介绍阿贝尔方法及其在数学分析中的应用:
阿贝尔恒等式:
设m 引理1:若对一切n=1,2,3…而言b1≥b2…≥bn≥0,m≤ak≤M 则有b1m≤akbk≤b1M 证明:设Sk=ai(k=1,2,3…n),则akbk=Snbn+Sk(bk-bk+1), 由于m≤Sk≤M,bk-bk+1≥0,得akbk≤Mbn+M(bk-bk+1)=Mb1, akbk≥mbn+m(bk-bk+1)=mb1,即有b1m≤akbk≤b1M 引理2:设(1)ak为单调数列 (2)Bk(Bk=bi,k=1,2,…)为 有界数列,即存在M>0,对一切k,Bk≤M成立,则akbk≤M(a1+2ap)。 证明:由引理1得akbk≤apBp+ak+1-akBk≤M(ap+ak+1-ak) 由于ak单调,所以ak+1-ak=ap-a1,即akbk≤M(a1+2ap) 一、级数的收敛性 定理1(阿贝尔定理):设an=S,则anxn=S 证明:容易看出anxn=f(x)在0≤x≤1上为一致收敛,事实上对任给正数ε, 有N使当n>N时,akxk 那么,应用阿贝尔定理,我们还可以得到级数乘法定理和阿贝尔求和法,下面分别介绍这两方面的内容。 定理2(级数乘法定理):令cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0,又设级数an,bn,cn都收敛,则cn=(an)(bn) 证明:因为绝对收敛的级数可以相乘,因此 cnxn=(anxn)(bnxn)=S1(x)S2(x)(0≤x≤1),于是由阿贝尔定理可得: cn=cnxn=S1(x)S2(x)=S1(x)S2(x)=(an)(bn) 例1.设an和bn二收敛级数中至少有一个绝对收敛,又设cn=a0bn+a1bn-1+…anb0,则cn收敛,且(an)(bn)=cn 证明:不妨设an为绝对收敛,且设An=ak→A,Bn=bk→B Cn=ck,ak=A′,Bn≤B′则可得 AnB-Cn=a0(B-Bn)+a1(B-Bn-1)+…+an(B-B0) 从AnB-Cn≤arB-Bn=r+arB-Bn=r≤A′B-Bn=r+2B′ar 可见,AnB-C→0即Cn→AB(n→∞)。 二、级数的求和 因为阿贝尔定理通常称为阿贝尔的幂级数连续性定理。由于它表明函数f(x)=anxn,在x=1的左侧是连续的,因而可以用来帮助我们寻找收敛级数an的和。下面我们列举一些具体的例子,使读者更快地掌握这种方法。 例2.求证:(i)1-+-+…=ln2 (ii)1-+-+…= 证明:当0≤x<1时,xn=ln(1+x),x2n+1=tan-1x 故得=xn=ln(1+x)=ln2 =tan-1x= 例3.设a>-1,b>-1,a≠b,求证:=dx 证明:显然左端的级数是收敛的,把它写成 =(-),而作函数 f (x)=(-)(<1), f ′(x)=(xn+a-1-xn+b-1)=(-),f (0)=0,故 f (x)=()dt,(0≤t 因此,应用定理便可得到要证明的等式。 阿贝尔方法在数学分析中有很重要的应用。本文在定理说明的基础上,主要是以命题、例题的形式对阿贝耳方法及其应用进行了讨论。我认为掌握阿贝尔定理及其应用对一个从事数学及应用数学研究的学者来说是必要的。 参考文献: [1]华东师范大学数学系.高等学校教材《数学分析》.2版.北京:高等教育出版社,1991. [2]王兴华,徐利治.数学分析的方法及例题选讲(修订版).北京:高等教育出版社,1984. [3]侯万利.阿贝尔的方法及其应用.今日教育.重庆出版社,2009-02-10. (作者单位 辽宁省盘锦市经济技术学校)