摘要:级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要。仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的。本文中,主要介绍了比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法,对于常用的判别法,本文对其有效性做了简单的比较,从而能够使读者更加深入的了解和熟悉各种判别法的使用范围。
关键词:级数 收敛 发散 判别法 有效性
1 级数的收敛性及其基本性质
我们知道,一系列无穷多个数u1,u2,u3,…un,…,写成和式u1+u2+u3+…+un…就称为无穷级数,记为un,且若级数un的部分和数列{Sn}收敛于有限值S,即则称级数un收敛,记为,un=S,也称此值S为级数的和数。若部分和数列{Sn}发散,则称un发散。
研究无穷级数的收敛问题,首先我们给出大家熟悉的收敛级数的一些基本性质[1]:
性质1 若级数un收敛,a为任意常数,则aun亦收敛,且有aun=aun。
性质2 若两个级数un和vn都收敛,则(un±vn)也收敛,且有(un±vn)=un±vn。
性质3 一个收敛级数un,对其任意项加括号后所成级数(u1+u2+…ui )+(ui +1+…ui )+…仍为收敛,且其和不变。
性质4 (收敛的必要条件)若级数un收敛,则un→0(n→∞)。
以上是收敛级数的一些最基本的性质,要指出的是,在实际问题中仅利用收敛原理来判断级数的收敛性,往往是相当困难的,所以在级数的理论中还必须建立一系列的判别法,利用它们就可以简便地来判别相当广泛的一类级数的收敛性,建立和总结这些判别法,就是本文的中心任务。
2 正项级数的收敛性判别
一般的数项级数,它的各项可以是正数,负数或零。现在我们讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数。本文将就正项级数的收敛判别方法做一总结,
若级数un=u1+u2+…+un…是一个正项级数(uk>0),它的部分和数列{sn}是一个单调增加的数列,即s1≤s2≤…≤sk≤…。如果数列{sn}有界,即存在M>0使0≤SK≤M,由单调有界数列必有极限的准则,级数un必收敛于某个s≥0,显然SK≤s≤M。反之,如正项级数un收敛于s,则limsn=s,根据数列极限存在必有界的性质知{sn}有界。所以,我们得到正项级数收敛的基本定理。
从基本定理出发,我们立即可以建立一个基本的判别法。
2.1 比较判别法
设un与vn是两个正项级数,若存在常数c>0使un≤cvn,(n=1,2,3…),
则:(i)当vn收敛时,un也收敛;
(ii)当un发散时,vn也发散。
例 考察级数(1
解:因为
下面我们考虑级数的敛散性,
因其部分和
所以正项级数收敛,由比较判别法知级数(1
迄今为止,我们已经知道p一级数=1+++…++…的敛散性为:当p>1时收敛,当p≤1时发散。
利用比较判别法,把要判定的级数与几何级数比较,就可以建立两个很有用的判别法,即柯西判别法(根值法)和达朗贝尔判别法(比值法)。
2.2 柯西Cauchy判别法(根值法)
设un是正项级数,若从某一项起,(即存在N,当n>N时)成立着 (q为某确定的常数),则级数un收敛;若从某一项成立着≥1,则级数un发散。
例 判别正项级数的敛散性:
解:因为
由Cauchy判别法知级数收敛。
2.3 达朗贝尔D’Alembert判别法(比值法)
设un是严格正项级数,且从某一项起成立≤q<1(q为确定的数,n≥N),则级数un收敛;若从某一项起≥1(n≥N),则级数发散。
例 讨论级数xn=++++++…的敛散性.
解: 因为
由Cauchy判别法知级数收敛,但如果用D’Alembert判别法
因为,
从而不能判定。也就是说,根值判别法的适用范围较之比值判别法要广。但对某些级数而言,两者都能用,且比值判别法可能比根值判别法更方便。
但这两种判别法对诸如这样简单的级数都是无能为力的,从而在应用上有很大的局限性。下面我们再引入几种判别法。以p-级数为标准建立起来的判别法及其有效性比较。
2.4 拉阿比Raabe判别法
设un是正项级数,且存在某正整数N及常数r,若对一切n>N,
(i)成立不等式,则级数un收敛;
(ii)成立不等式 ,则级数un发散。
例 判断级数 的敛散性
解:设un= ,则
也就是说,此时Cauchy判别法与D’Alembert判别法都不适
用,如果使用Raabe判别法,可得
,所以级数收敛。
注:在Raabe判别法中,如果S=1,在我们给出的定理中未作任何一般性的结论,对此临界情形,需要更精细的判别尺度,例如以
(p≠1)作为比较的标准。
此外,以p-级数为标准建立起来的判别法还有对数判别法和双比值判别法,下面将这两种判别法简单叙述,并与拉阿比判别法放在一起比较他们的有效性。
2.5 对数判别法
对于正项级数un,如果存在,则当q>1时级数un收敛;当q<1时,级数un发散。
2.6 双比值判别法
对于正项级数un,如果存在,则当ρ<时,级数un收敛;当ρ>时,级数un发散。
例9 设有正项级数,我们有
不存在,从而此时双比值判别法失效。而
因此由对数判别法可知级数an收敛。
此命题说明:对于正项级数,如果能用拉阿比判别法确定其敛散性,则必可用双比值判别法确定之;反之则不能,也就是说,双比值判别法较之拉阿比判别法更有效。
2.7高斯判别法
下面将要介绍的Gauss判别法,概括了达朗贝尔判别法和拉阿
比判别法,而且达到了用作比较标准的精度,因而是一种适用范围较广的判别法。
设an是严格正项级数,并设,则关于级数an的敛散性,有以下结论:
(i)如果λ>1,那么级数收敛;如果λ<1,那么级数an发散;
(ii)如果λ=1,μ>1,那么级数an收敛,如果,λ=1,μ<1,那么级数an发散。
(iii) 如果λ=μ=1,v>1,那么级数an收敛,如果λ=μ=1,v<1, ,那么级数an发散。
例 Gauss超几何级数
的敛散性,其中α,β,γ,x均为非负常数。
解:因为
又因为
所以 。
根据Gauss判别法可以判定:
如果x<1; 或者x=1,γ>α+β,那么级数收敛。
如果x>1; 或者x=1,γ≤α+β,那么级数发散。
2.8 柯西积分判别法
从比较判别法入手,我们还可以导出一种非常有用的积分判别法,由于它是由Cauchy首先研究的,我们把它叫做Cauchy积分判别法。
设函数f(x)在[1,+∞]内单调下降,并且非负,则级数f(n)与广义积分 同时收敛或同时发散。
例 求证级数 收敛
证明: ,所以级数收敛。
由上文中我们知道,正项级数的收敛和发散常常可以通过跟另一已知收敛或发散的级数的对比来确定,把这一思想精确表达出来就是比较原则。从纵向看,现已建立了精细度不断提高的一系列判别方法;从横向看,在每一精细程度上,(以下简称精度)又都发展了不同结构的判别法以适用于不同类型的级数。判别法的精度与形式是一对矛盾:提高精度必然造成形式复杂。当然对于不能判别的情形,除精度原因外,往往也可能是由于判别法形式上的缺陷,因此在同一精度上发展不同形式的判别法与提高判别法的精度具有同样重要的意义。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(第二版).下册[M].北京:高等教育出版社,1991.10.
[2]陈传璋等.数学分析(第二版)下册.北京:高等教育出版社,1983.11.
[3]邓东皋,尹小玲.数学分析简明教程 下册.北京:高等教育出版社, 1999.6.
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作者简介:李春江 男1975 内蒙古敖汉旗 民族 满 职称 实验师 研究方向:不确定信息处理。