摘 要:结合实例,深入研究可导与连续的关系,并得到了几个有用的结论。
关键词:可导 连续 不可导 不连续
中图分类号:O172.1 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)04(a)-0070-02
可导与连续是微积分中两个重要的概念,大多现有教材中,对可导与连续的关系都只是一带而过,并没有深层地去理解和思考,这很容易使学生判断函数的可导性与连续性时产生混乱,为了更好地帮助学生理解可导与连续,本文深入讨论了可导与连续的关系,并给出了几个有用的结论。
定理1:如果函数在点处可导,则它在点处连续。
证明参看文献[1]。
根据定理1,很容易得到下面的结论。
结论1:若与都存在,则函数在点处连续。
证明:因为存在,于是有
,
即:函数在点处左连续,
同理,由存在,可推知函数在点处右连续,
因此,函数在点处连续。
对于定理1来说,其逆命题不成立。
结论2:函数在点处连续,但在点处不一定可导。
例1:证明函数在处连续,但不可导。
证明:,
,故函数在处连续。
而,
所以函数在处不可导。
1872年,著名数学家Karl Weierstrass利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数:
,,。
1930年,Van der Waerden给出的例子是:
。
在数学分析课程中,这是两个非常著名的处处连续但处处不可导的函数,参见文献[4]。
在连续的基础上,适当强化结论2的条件,能够得到如下结果。
例2:若函数在点处连续,且,而函数在点处可导,则函数在点处也可导。
证明:因为函数在点处连续,所以有,
又因为函数在点处可导,即存在,可设:
,
于是有:
,
即:函数在点处也可导。
例3:若函数在点处连续,则函数在点处可导。
证明:已知函数在点处连续,即,于是有:
,
即:函数在点处可导。
将例3推广:
若函数在点处连续,则函数:
在点处可导。
证明:时,见例3,
时,
,
故函数在点处可导。
例4:若函数在点处连续,则函数在点处可导。
证明:,
,
故函数在点处可导。
推广:若函数在点处连续,则函数在点处可导。
证明可参看例3、例4,这里不再赘述。
显然,定理1的否命题不成立。
结论3:若函数在点处不可导,那么函数在点处不一定连续。
例5:证明函数在点处不可导,但在点连续。
证明:,
,
,故函数在点处不可导。
而,故函数在点处连续。
例6:设函数,判断其在处的连续性和可导性。
解:,故函数在处不可导。
,,
故函数在处不连续。
由于原命题与逆否命题同真,所以定理1的逆否命题成立。
结论4:若函数在点处不连续,则函数在点处不可导。
证明:假设函数在点处可导,根据定理1可推知函数在点处连续,这与已知条件矛盾,假设不成立,因此,当函数在点处不连续时,函数在点处必不可导。
例7:讨论函数在点处的连续性和可导性。
解:,,
因为 ,
所以函数在点处不连续,由此推知函数在处也不可导。
结论5:若函数在某个区间上可导,则其导函数在该区间上不一定连续。
例8:考察函数,在点处的导数
,
所以函数在点处可导。
而当时,,
因为不存在,所以在点处不连续。
例9:考察函数,显然
,
因为,
所以,即在点处连续。
参考文献
[1]吴赣昌.高等数学(理工类)(上册)[M].3版.北京:中国人民大学出版社,2009.
[2]复旦大学数学系.数学分析[M].上海:上海科技出版社,1978.
[3]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002.
[4]陈纪修,邱维元.数学分析课程中的一个反例[J].高等数学研究,2006,9(1):2-5.