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摘 要:倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定的动态系统,对于倒立摆的控制研究无论在理论研究上亦或是工业复杂控制对象的控制方法上都有深远的意义。本文主要研究内容是:首先概述倒立摆系统研究的背景及意义;介绍倒立摆组成并对一阶倒立摆模型进行建模;研究倒立摆系统的PD控制方式,并设计出对应的控制器,以MATLAB软件为平台经行模拟仿真实验并对PD控制效果进行总结。
关键词:倒立摆;PD控制算法;MATLAB仿真
1、倒立摆系统研究背景及意义
倒立摆是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆,是一个复杂的快速、非线性、多变量、强祸合、自然不稳定系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。倒立摆在东汉科学家张衡于公元年发明的候风地动仪就有体现,其关键机构就是一根称为“都柱”的倒立摆, 顶杆杂技表演的技巧也体现了倒立摆系统的控制策略。
对倒立摆的控制涉及到控制科学中处理非线性、高阶次、强祸合对象的关键技术,许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。因而倒立摆被誉为“控制领域中的一颗明珠”。通过对倒立摆的研究不仅可以解决控制中的理论问题,还能将控制理论涉及的三个主要基础学科—力学、数学和电学进行有机的综合应用。同时,其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途,如机器人行走过程中的平衡控制、海上钻井平台的稳定控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制、太空探测器着陆控制和测量仪器展开稳定控制等。因此,倒立摆提供一个从控制理论通往实践的桥梁。
2、一阶倒立摆的数学模型
图1一阶倒立摆系统的原理图。若不给小车施加控制力,倒摆会向左或向右倾斜,控制的目的是当倒摆出现偏角时,在水平方向上给小车以作用力,通过小车的水平运动,使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数,以保持摆的倒立稳定。
为了建立倒立摆系统的数学模型,先作如下假设:倒立摆与摆杆均为匀质刚体;忽略倒立摆运动过程中的摩擦及空气阻力。图1所示系统的相关参数定义如下:M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、l摆杆转动中心到杆质心的距离、x小车位置、θ摆杆与垂直向上方向的夹角、 摆杆与垂直向上方向的夹角。对小车和摆杆进行受力分析, 可以得到该系统的两个方程:
3、PD控制及MATLAB仿真
直线一级倒立摆的输出量主要考虑两个,即摆杆的角度和小车的位置。因此要设计合适的控制器对摆杆的角度和小车的位置进行控制。本文所用参数为M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3,均为国际单位制。
从一阶倒立摆传递函数模型中不难看出, 该系统因为含有不稳定的零极点, 所以是一个“自不稳定的非最小相位系统”。由于一阶倒立摆系统位置伺服控制的核心是“在保證摆杆不倒的条件下, 使小车位置可控”。因此, 依据负反馈闭环控制原理, 可将系统小车位置作为外环, 而将摆杆摆角作为内环, 摆角作为外环内的一个扰动, 则可得到闭环系统的有效抑制。综上所述, 一阶倒立摆控制系统可按如图2所示进行设计。
参考文献:
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