教师在讲课时也会提到这些,但是数学分析课堂中更多的时间可能是应用在了公式的理论证明和相关的例习题的计算上。由注意规律可以摘掉,学生在课上的注意程度是有限的,很难做到整节课都全神贯注听老师讲课。再加之教学中往往将理论证明和形式计算作为重点,冲淡了各种积分实际背景的理解。学生在刚学完一种积分后,会按照相关的公式去进行计算。但这时候,基本上是处于机械记忆阶段,只是能够识记公式并利用公式计算。对于各种积分的背景以及区别认识的并不是很清楚。尤其是在4种线面积分学完之后,由于只是机械记忆,不能运用已有认知结构中的知识对各个公式进行概括,从而产生了混淆。
有些同学虽然能够识记各种曲线曲面积分公式,但是在利用公式做题时往往产生各种错误。对于这个困难可以从陈述性记忆和程序性记忆来进行分析。对于公式的识记而言,往往属于陈述性记忆,但是如何利用公式进行各种积分运算,在运算中如何利用各种积分的技巧,则属于程序性记忆。曲线和曲面积分的求解过程往往伴随着复杂的计算,需要根据题意选择不同的计算方法,如果学生的程序性记忆不是很好的话,就不能够选择恰当的计算方法,从而对于题目无从下手或计算错误,从而造成学习上的困难。
3.2 遗忘规律视角下的分析
对识记过的材料不能再认和再现,或出现错误的再认和再现,称为遗忘〔2〕。遗忘的产生有两种原因,“消退说”和“干扰说”。在学习曲线和曲面积分时,由于课上容量大,理论证明较多,导致学生注意力分散,往往对相关的知识认识的不深刻,加之大学生不像中学生,课下很少花时间去复习,很容易产生遗忘,这就是知识的“消退”。而曲线曲面积分的4个公式具有相似性,相关的题目之间也有很多相似之处,在学习的过程中,新旧知识相互之间容易造成干扰,导致学生无法分清楚这些公式以及计算的方法,这种遗忘就是由相关知识间的“干扰”造成的。
4.教学建议
结合上述分析,从记忆分类和遗忘规律两个方面提出相关的教学建议。
4.1 加强知识背景的教学
由于数学分析教科书上呈现的更多的是严谨的数学公式,对于知识的背景来源虽有所介绍,但是限于教科书篇幅的限制,往往不是很详细。因此教师在教学中要强调知识的背景介绍,对于知识的来龙去脉要花足够的时间去讲解。曲线积分和曲面积分的数学公式虽然简洁抽象,但是背后却有着丰富的现实背景,同时也是一个很好的数学模型。比如二重积分是计算曲顶柱体的模型,曲线积分是计算曲线形构件质量的数学模型。这些数学模型建立的过程,正是对这个问题进行深入分析的过程,这个建模过程讲清楚后,学生们就会明白为何不同的公式有不同的表达形式,明白不同公式背后所针对的实际背景。这样学生在遇到实际问题时,才能够选择恰当的公式去解决问题。当学生能够理解到这种程度后,才能达到理解记忆。当学完四种积分之后,如果能够在和定积分一起,再一次去体会各种积分的本质是“分割、近似、求和、取极限”那么对于线面积分的理解就会上到一个更高的层次,从而达到概括记忆。在学完这些积分后,教师要引导学生对上述积分进行总结,在习题课或复习课上,要总结各种积分的特点,揭示出这些积分的共同的特点。
4.2 教学中要引导学生及时复习
有德国心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线的知识可以知道,遗忘的规律是“先快后慢”。这就告诉我们学习一定要先快后慢。数学分析一般是一周三次课,往往是周一周三周五排课,那么每次课上,教师应该先引导学生复习上节课所学的知识,加深之前所学的印象。另外要引导学生平时多复习。
4.3 选择有代表性的题目
曲线和曲面积分往往伴随着复杂的的计算过程。而对具体的计算的记忆属于程序性记忆。教师要选择典型的题目,重点演示,使学生清楚每一步的计算过程,这样才能帮助学生更好的去记忆。同时课下多布置一些容易混淆的题目让学生练习辨析,以加强学生对于各种积分的掌握。
总之,曲线和曲面积分虽然是教学的重难点,但是如果教师能够结合数学理论和学习理论进行分析,进行合理的教学设计,能在一定程度上提高学生的学习效果。
〔参 考 文 献〕
〔1〕孔凡哲,曾峥.数学学习心理学〔M〕.北京:北京大学出版社,2009:118.
〔2〕郭玉峰,刘春艳,程国红.数学学习论〔M〕.北京:北京师范大学出版社,2015:118.
〔责任编辑:杨 赫〕