摘 要:本文對奇异两点边值问题采用了混合有限元方法,给出了混合有限元格式,并证明了解本身(位移)和梯度(应力和应变)的加权L2-模最优阶误差估计。
关键词:奇异两点边值问题 混合有限元方法 误差估计
一、引言
奇异方程, 特别是非线性奇异方程广泛应用在核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论、非线性场和非线性光学等诸多领域. 还有热传导问题、离子体极化现象中的猝灭问题以及概率中描述布朗运动和随机过程的微分方程都归结为奇异抛物方程。混合有限元方法是将问题中的所求的未知函数,除了原来的未知量,还将原方程未知量的导数作为补充的独立变量一起来求解。通过混合有限元方法可以将高阶方程进行降阶处理,化为低阶方程,从而有利于数值处理。本文首次利用混合有限元方法考虑奇异两点边值问题
其中为常数,函数为已知函数.当时问题(1.1)为通常的边值问题。
二、函数空间及其相应的范数
设和表示通常的Sobolev空间和Lebesgue空间,即是定义在I上的可测函数,并且其相应的内积和范数分别定义为
其相应的范数定义为
加权L2(I)空间为是定义在I上的可测函数,并且
其相应的范数定义为其中是权函数。加权Sobolev空间为 ,其相应的范数定义为
三、混合变分问题
首先引进中间变量 ,于是原问题(1.1)可写为如下方程组:
其次,在问题(3.1)两个方程两端同时乘并整理得
再利用任意的乘问题(3.2)的第一个方程两边并在区间I上求积分,得,然后对第二项应用分部积分后,有,其中我们用到了边界条件.同理,利用任意的乘问题(3.2)的第二个方程两边并在区间I上求积分,得因此,问题(3.2)的混合变分问题为:求,使得
四、混合有限元格式及其误差估计
为引进方程的混合有限元方法,首先将区间I进行剖分. 对正整数M,设0=x1 本文涉及的有限元空间 其中表示至多为Ii上次数≤r的关于x的多项式空间。若混合有限元取为RT,BDFM和第一,第三CD元,则.然而混合有限元取为BDM,BDDF和第二CD元时.上述混合有限元的有关性质以及具体的构成方法可参见文. 问题(3.2)的混合有限元格式为求,使得 (4.1) 下面给出本文所用到的引理. 引理4.1 引入加权投影πh:H1(I)→Vh和Rh:W→Wh满足 (4.2) 且有误差估计 进一步,在(4.2)中取和y=π.有 于是, 引理4.2 给定的,存在使得且 上述两个引理证明参见[17]. 定理4.3 设是方程(3.2)的解,是混合有限元格式(4.1)的解,则满足 (4.3) 其中,C表示不依赖于h的常数,. 证明:从方程(3.3)减方程(4.1)的误差方程为 (4.4) 首先,取则从(3.4)的第二个方程得 (4.5) 于是 即 并结合引理4.1,第一个不等式得证. 其次,在(4.4)的第一个方程中取并在第二个方程中取,得 因此,由投影πh和Rh的关系,有 进而 于是 即 并结合引理4.1,第二个不等式得证. 最后,在(4.4)的第一个方程中取v使得,则由引理4.2得 又因为 于是 结合三角不等式,引理4.1可得定理4.3的结论(4.3)证毕. 参考文献: [1]李德茂,王刚,奇异微分方程有限元方法[M],内蒙古大学出版社,2004. [2]李宏,一般二维奇异问题的间断时空有限元法[J]内蒙古大学学报(自然科学版),2005,36(5):5.5-5.9 [3]罗振东,刘儒勋,Burgers方程的混合元分析及其数值模拟[J],计算数学,1999,21(3):257-268 [4]Zhangxin Chen.Finite element mathods and their applications[M].Berlin:Springer-verlag,2005.