摘 要 本文利用实数的无限小数表示形式,结合实数系的序理论知识,用确界存在公理证明实数系的完备性。
关键词 实数系 序理论 归纳法 确界公理 完备性
中图分类号:O141.2 文献标识码:A
实数理论的建立,给数学分析注入了严密性。实数理论是数学分析的理论基础,而实数完备性定理又是实数理论中的重要内容之一。数学分析中介绍了有关实数完备性的六个基本命题,即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则。在实数系中这六个命题相互等价,从其中任意一个命题出发都可以推出其余五个命题。实数集的序是字典序,确界原理是以实数集按照大小关系是一个全序集为基础的,用实数的无限小数表示形式来证明实数系的完备性。
先给出证明过程需要用到的一些符号说明:R表示实数集,Z表示整数集,N表示自然数集,表示任意的,表示存在一个。
定义1:实数的无限小数表示:任意一个实数x可表示成:
证毕
参考文献
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