摘要:经济学与数学的结合,既给经济学研究带来了巨大的变化与发展,也制造了经济学研究当中的一些误区和陷阱。所以,如何正确地看待经济学研究当中数学的功效,如何正确地运用数学来工具解决经济学问题,就成为当务之急。笔者从经济学运用数学的基本思路入手,抓住经济学运用数学的两个条件,重点分析了经济学与数学在语言上和逻辑上应该满足什么样的条件才能使运用得以实现。我们的分析结果是:经济学与数学在语言上可以自由转换、在逻辑上保持强弱一致,是经济学运用数学的两个必要条件。
关键词:经济学;数学;语言;逻辑;条件
数学在经济学当中得到了广泛运用,这是一个既成事实。我们运用数学来分析经济学问题,其目的在:(1)可以通过数学公理化方法的严格性、简洁性与一般性,提高了经济学研究的科学性及分析水平。通过数学的抽象,可以更好地把握经济运动中的深层次关系。复杂的数学结构可以更精确地揭示经济系统的真正规律。(2)可以通过数学方法使我们比较精确地研究问题,同时又能使问题简单明了,一目了然。使用数学方法应该使对问题的认识和分析过程简单化。不仅如此,我们还能通过使用数学方法对经济过程中的数量关系作精确分析,了解经济过程中的规律性,甚至质的规律性。
经济学运用数学的一个基本思路是:先选择经济分析中的原始概念,再将这些概念用数学语言及符号表示出来,通过用数学表达这些经济现象中的概念,给出经济现象中存在的实际关系或数学逻辑上所需的假定条件作为公理,然后利用这些公理及抽象的数学推导给出反映经济现象的命题。
然而,在这种“广泛运用”的背后,却隐藏着另外一个事实:有许多经济学当中的数学分析是牵强的、不合理的、画蛇添足的,甚至是错误的。这两个共生的事实给我们提出了一个耐人寻味的问题:数学在什么样的情况下可以运用到经济学当中呢,这种运用的条件是什么呢?本文正是要探讨这么一个关键的问题,因为这个问题不加以澄清,一方面会导致数学的更加泛滥,另一方面也会影响经济学的发展。
一、泛数学化:经济学的灾难
经济学从来就被认为是一门非常有用且实用的科学,但是,经济学发展到现在,其命运显然带有许多悲情的色彩。正如1996年诺贝尔经济学奖获得者维克里在评价其获奖论文时所说的那样“它对人类的幸福充其量只有一点小小的意义”,他的话证实了现代经济学中绝大部分的理论和方法对人类经济的发展其实并无什么作用。经济学已经异化为一门深奥难懂、晦涩的学问,异化为数学的一个分支,这是经济学的灾难。主要表现是:(1)经济学家讲授和研究的东西已经与社会公平、正义、贫困、收入差距等重大的社会经济问题没有太多的关系,即使研究现实问题的经济学家也习惯于抽象地研究这些问题,因而缺乏政策意义;(2)政治家和企业家也开始远离经济学家,经济学家对政策的影响已经微不足道了;(3)所谓的现代经济学面对现实经济问题的束手无策和缺乏解释力,这已经证明试图将经济学变为一门应用数学的努力是失败的,有一本书叫《经济学的危机》,讲的主要是法国的大学生和教授们对所谓现代经济学的抗议;(4)数学历来被认为是一个有用、但次要的辅助性工具,现在却支配和左右着经济学的发展,甚至出现这样可悲的情况:那些对现实社会经济问题极有见地和创新的观点、对实践有指导意义的观点仅仅因为没有用数学语言来表达而遭到专业人士的冷嘲热讽,而那些与现实相悖甚至是对现实的曲解的观点,仅仅因为使用了数学语言或者错误地使用了数学语言而得以大肆泛滥。
二、语言条件:自由转换
人们在实际社会中,任何时候都离不开言语活动以及人类的某一种或多种语言,其中包括自然语言、数学语言、逻辑语言、计算机语言、甚至聋哑语和盲文。数学和经济学有着各自的话语系统,有着各自的语言(朱成全,2004)。对数学而言,大多数是用数学语言来表达其内容的;对经济学来说,大多数是用自然语言来表达其内容的。在经济学的研究过程中,会涉及一些问题,这些问题用自然语言无法解决,只能用数学语言来解决;同时,有些问题运用数学语言来表达可以使它更加的简练明了,所以要用数学语言来解决。
自马歇尔以来,主流经济学的各学派大量地运用数学分析工具和计量模型,这使得数学语言成为经济学表述的一个重要的方式,大有取代自然语言的趋势(韦森,2003)。在这些数学分析和模型当中,并不是每一个都是那么地恰如其分,很多数学分析和模型仅仅是为了赶时髦,徒有其表。但是,时至今日,很少有经济学家对现有的经济学语言进行反思。
所以,这种被人忽视的“经济学语言反思”给我们提出新的要求:数学语言在什么样的情况下是必要的,在什么样的情况下可以替代自然语言;而在什么样的情况下,又是无法表达经济学问题。
一门学科要为另外一门学科所用,一个非常重要的条件就是这两者之间在语言上是可以转换的。广义地,数学和经济学都可以用自然语言与数学语言来叙述,但两者之间的语言形式并不存在一一对应的关系,也就是说,经济学的自然语言并不是可以随意地转换成数学语言。那么,怎样才能实现这个转换?这是经济学运用数学必须解决的一个问题。
1、语言形式转换之后并不会改变问题本身的实质内容。众所周知,数学很大程度上是一个由形式语言刻画的形式系统,数学推演的有效性在于数学论证形式的正确性,而不在于其内容。因此,数学语言符号化便是数学客观性的要求。但是,经济学所研究的行为主体和对象是人以及人们活动的经济和社会后果,所以经济学研究不仅要强调其形式的完整,更要强调其内容的完整(唐·埃思里奇)。如果经济学问题通过数学语言来解决,那么经济学问题就被抽象成了由特定的数学符号构成的数学结构。此时数学符号的意义完全被抽象掉了,问题中的概念变成了数学符号,命题和语句都变成了数学公式,命题的推导则成了数学公式的变形。此时数学关心的只是各种数学符号之间的关系,暂且舍弃对内容的考虑。但最后,所有的数学符号还是要还原成自然语言。而还原后的内容是不是我们原先所要表达的意思呢,我们通过什么手段来检验这种意义的一致性呢?
在这里,我们无法给出一个明确的答复。我们只能得出几点初步的结论:(1)只有比较简单的经济学问题才能通过数学语言来解决,因为此时的语义比较明确;(2)大多数人对自然语言和数学语言的掌握程度具有高度一致性的情况下,经济学问题才能用数学语言来解决,因为掌握程度的不一致将会导致语言翻译上的误解;(3)只有那些在语言还原上可以得到明确检验的经济学问题才能运用数学形式来表达。
2、两种语言形式所表达问题的外延是一致的。一般而言,自然语言是模糊的,这种模糊不仅表现为其反映的内容是不确定的,而且也表现为其同一内容包含的范围也是不确定;而数学语言是精确的,这种精确是对其确定的语言范围而言
的,因为数学语言本身并没有被赋予特定的内容。那么,如此说来,经济学问题大量地使用数学公式来推导岂不是彻头彻尾的不严肃。经济学研究的现实告诉我们,问题并非如此;所以,我们对自然语言和数学语言的属性判断是有误的。其实,自然语言在一定的社会规则下、在一定的语境中,其表现的内容是相当明确的,涉及的范围也是确定的,否则人们就无法进行交流,人类的进步也无从谈起了;而数学语言所表现的语义也是有所差别的,因为严格的数学语言可以分为三大类,既模糊数学语占、随机数学语言和精确数学语言(章真、曹云娟,1997)。因而,无论是自然语言还是数学语言,都具有模糊性、随机性和精确性,两者之间是可以转换的。那么,转换的标准是什么呢,自然语言与数学语言在所要反映内容的外延上如何对应起来呢,参照物又是什么呢?
同样地,我们也难以找到唯一的答案。在这里,我们按照上面的思路,给出我们的几点想法:(1)经济学问题可以划分为不同的层次,只有那些可以给定层次或阶段的经济学问题才能用精确数学语言来解决;(2)不管是自然语言还是数学语言,所反映出来的“真实世界”的外延是一致的,在这种情况下,数学才能在经济学当中得以运用;(3)自然语言的模糊性与模糊数学语言的模糊性,我们很难对这两者给出外延上的对应关系,所以,经济学运用数学的正确方向不是把经济学问题的时间做无限制的假设,而是要在时间上有明确的规定,从而让其外延得到确定。
三、逻辑条件:强弱一致
任何一门学科都有自身独特的逻辑或者说叙述范式。数学和经济学的叙述过程或者说推导过程是否一致,这是经济学运用数学的一个非常重要的问题,只有厘清了这一问题,我们才能把经济学与数学统一起来。要弄清这个问题,我们首先要从数学与逻辑的关系开始说起。
逻辑主义认为逻辑和数学是同一的(刘杰、郭贵春,2006)。罗素就曾指出,逻辑和纯粹数学的共同特性在于它们都不提及任何特殊的东西和性质,而只与形式有关,因此两者是同一的。其基本论点分为两部分:一是数学概念均可由逻辑概念推导出来;二是数学定理是由逻辑的演绎方法推导出来的。所以,在逻辑主义看来,数学在形式上就是逻辑。
但是数学与逻辑之间仍有本质的不同。首先,逻辑是客观世界最一般关系的反映,它所研究的是命题的真值条件,即是通过命题的逻辑结构的分析来判定它们的真假:数学的研究对象则是客观世界的数和形的关系,以及与此相应的各种数学结构的性质。其次,逻辑主义的理论基础在于将数论化归为集合论,在将集合论化归为逻辑,其关键所在是把集合论视为逻辑,而集合论中的无穷公理的引用使得这一基础变得更不可靠。因此,不能将数学和逻辑混为一谈。数学不只是逻辑,它具有比逻辑更宽泛的研究对象和范畴。
从以上论述我们可以清楚地认识到,数学的基本逻辑是这样的:从数学的基本概念出发,依据一定的数和形及其关系,再根据一定的方法(演绎或归纳),得出相应的结论,最后形成定理或公理。
那么,经济学与逻辑之间又是一种什么关系呢?
目前,大部分的经济学学者认为,经济理论极大地倚重于演绎逻辑,我们首先建立一组或一系列关于条件、动机和行为的假定,然后依据我们要解释的或预测的许多变量或参数来进行演绎推理直到产生期望的结果。因此,经济学的逻辑首先是观察到某种需要解释的现象,为此经济学家试着通过各种假设来构造一个环境,如果当一个人(他总是做出对自己有利的选择)被置身于这样的环境中所做出的选择和经济学家观察到的现象一致,那么这个“环境”就算暂时被接受了,否则经济学家就提出一个新的环境,以此类推。整个过程可以被看作是一个试错的过程。简单地说,就是先假设、再推理、最后得出结论。按照这样的逻辑,经济学研究就应该是下面这样一个演绎过程:首先,对环境进行描述(或者说给出假定):当事人A处于c类环境中;其次,分析环境;在C类环境中,合适的做法是x;再次,确定理性原则:当事人总是根据自己所处的环境采取合理的行为;最后,做出解释(推论):当事人A采取行为x。然而,经济学的研究并不是止步于此。经济学的研究最终是要充分发挥人类的认识能力,把经验判断在人的理性思考的基础上深化为理性认识,从而使研究深入到事物内部玄把握事物的本质和规律,用来指导实践。这才是经济学的逻辑总则。
综合分析数学的逻辑与经济学的逻辑,我们可以看到,两者有一个交集,但不是同一的关系。从演绎方法这一点来看,数学逻辑与经济学逻辑都满足内在一致性的要求;但是,数学逻辑强调的是数理逻辑,而经济学逻辑强调的是辨证逻辑。
在这里,要正确地区分开数学逻辑与经济学逻辑,我们必须先对数理逻辑、形式逻辑和辨证逻辑的关系做一番解释。数理逻辑是精确化、数学化的形式逻辑。形式逻辑是在“质”的规定不变的情况下,对“质”的同态性表述,它反映的是事物的量的积累;也就是说,形式逻辑的推演表现的是事物自身的等同性,即在推演的过程中,事物的质的规定不能从一种质的规定变化为另一种质的规定。辩证逻辑就是在认识事物的过程中不但认知事物当前的、现在的“质”的不变性(稳定性),同时还要认识到这种不变性是暂时的。
我们可以把数理逻辑、形式逻辑与辩证逻辑的关系就概括为,数理逻辑是形式逻辑的一个子集,形式逻辑是辩证逻辑的一个子集。形式逻辑反映的是一个质的静止的不变的演算过程,而辨证逻辑反映的是一个质的变化的动态过程。如果在辩证的思维过程中只取边界性与稳定性两条定律演出来的知识体系就是形式逻辑。
通过以上的分析,我们不难看到,经济学逻辑与数学逻辑的强弱程度是不一样的,数学逻辑是强逻辑,相对而言,经济学逻辑是一种弱逻辑。换言之,数学问题较之经济学问题而言,可能而且也可以实现更多的假定。
在数学领域,诸多的条件都是可以假定的,或者说这种假定的情况是确实可以存在的;但在经济学领域内,我们也做出许多的假定,以此来简化问题,从而得出合理的结论,可是,经济学当中许多条件是无法假定的,这些情况在现实中是不可能存在的,当然,如果这些情况对问题本身来说是不重要的,这样做假定是可行的,然而,这种重要性的判定具有相当大的主观性,往往随研究者本身的能力及其所掌握的资料而出现不同的结果。
总而言之,经济学的逻辑与数学的逻辑在内涵和外延上,既有相似点,也有差异性。要做到在经济学中正确地运用数学,在逻辑上就应该注意:(1)只有那些能够而且可以实现假定的经济学问题,才能在逻辑上与数学保持一致,从而通过数学来解决;(2)具体的经济学问题与具体的数学问题在强弱程度上可以做到十分接近,所以说,只有那些能够实现强弱程度与数学对应的经济学问题,才能用数学来解决。
四、结语
经济学当中的数学运用不在于其多与少,而在于如何正确地运用数学,关键问题是如何找到一个合适的运用方法,确定其运用条件。
经济学的独立性决定了经济学与数学的关系只能是“本”与“用”的关系,而不是像某些数理学派经济学家所片面议论的那样,经济学只有“数学化”才能成为科学。因为数学这一工具本身不能创造理论,它只是为理论生动直观地或需要定量表达提供了可能的方式(罗森、程恩富,2006)。
数学只是经济学研究方法之一,不是经济学研究方法的全部。研究经济学的方法包含多个层次:唯物辩证法和历史唯物主义是一般方法;系统抽象法是特殊方法;数学方法是具体方法;电脑及信息手段是辅助方法。从一般方法到辅助方法既反映了从抽象到具体的过程,也体现于人类经济学研究方法的历史进程。它们构成一个完整体系,缺一不可:唯物辩证法与唯物史观为经济学研究提供原则性指导;系统抽象法将从经济矛盾中抽象出的本质规定形成特有概念;概念运动伴随着经济数量关系的论证;而科学进步带来的电脑及信息手段的运用,又使材料的整理更有序,计算程度更快捷方便。
因此,仅仅强调事物本质规定,排斥经济学中引入数学方法的政治化倾向是形而上学的“主义”,而只追求经济学“数学化”,不注重经济规律性探究的经济化倾向同样是教条主义的表现。可见,一般性的数学方法只有纳入特殊性的经济学的方法论中,成为其有机的组成部分,根据对经济矛盾的认识需要,加以使用,才是适当的。