摘 要:微分中值定理是微分学中重要的基本定理,它可应用于求极限、证明不等式与等式、证明单调性等很多数学问题的讨论。为加深对柯西中值定理的理解,以便更好地应用,本文介绍了柯西中值定理的几种新的有代表性的证明方法。
关键词: 柯西中值定理;辅助函数;证明
一、 引言
微分中值定理是微分学中的重要定理,其应用广泛,涉及到的应用有研究函数或导数所对应的方程的根的个数及根的范围;根据函数的性质研究导函数的性质,或者是根据导函数的性质研究函数的性质;再有证明一些不等式及求极限等。
为解决上述问题,对微分中值定理的深入理解是很必要的。现介绍柯西中值定理的几种新的证明方法,以使其更好地被认知和应用。
柯西中值定理的叙述如下:
若f(x)与g(x) 在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且x(a,b),g"(x)≠0则在(a,b)内至少存在一点使
=
二、 柯西中值定理的证明
柯西中值定理证明方法的探讨与研究历来是一个引人注目的问题。一般常见的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理加以证明。下面将给出关于这一定理的几种新的证明方法。
1. 利用复合函数证明柯西中值定理
在柯西中值定理中, 考虑将g(x)看成自变量t,x看成自变量t的函数,则将f(x)看成中间变量为x,自变量t的复合函数。
从而由题设,任意的x(a,b),g"(x)存在且g"(x)≠0。由达布定理知,g"(x)在(a,b)内保号,令t=g(x),则t是[a,b]上的单调连续函数。 于是,存在单调且连续的反函数x=g-1(t),t[g(a),g(b)]。
由f(x)在[a,b]上连续知,在[g(a),g(b)]上存在连续的复合函数y=f[g-1(t)]=h(t)。根据参数方程求导公式有
==,x(a,b),
故在x(a,b)即t[g(a),g(b)]内存在。从而y=h(t)在[g(a),g(b)]上满足拉格朗日中值定理条件,故至少存在一点使
t=g()(g(a),g(b))使
==,
得 =,(a,b)。
2. 利用同增量性证明柯西中值定理
引理1在同一闭区间上连续且在其内部可导的两个函数, 若在这一区间上有相同的增量, 则在这区间内至少存在一点, 使这两个函数在该点的导数值相等。
证明:由题设f(x),g(x) 在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且f(a)-f(b)=g(a)-g(b)。
则f(x)-g(x)也在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导,且f(a)-f(b)=g(a)-g(b),
即 f(a)-g(a)=f(b)-g(b)。
故 f(x)-g(x)满足罗尔定理条件。则在(a,b)内至少存在一点,使f"()-g"()=0。即f(x)与f(x)在点的导数值相等。
下面证明柯西中值定理:
由题设f(x)、g(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导。且在g"(x)在(a,b)内每一点均不为0 , 则[f(b)-f(a)]g(x)与[g(b)-g(a)]f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导,且具有相同的增量f(b)-f(a)=g(b)-g(a)。
由命题知, 在(a,b)内至少存在一点, 使[f(b)-f(a)]g"()=[g(b)-g(a)]f"()。
由拉格朗日中值定理知,
g(b)-g(a)=g"()(b-a),(a,b) ,而g"()≠0,b-a≠0, 故g(b)-g(a)≠0。
从而=,(a,b)。
3. 利用闭区间套定理证明柯西中值定理
引理2设函数f(x)在[a,b]上有定义,且在x0(a,b)处可导,又{[n,n]}为一闭区间套,且n=n=x0,则
f"(x)=
引理 3 设函数f(x)在[a,b]上连续,则存在[a1,b1][a,b],且b1-a1=(b-a),使得 =。
现在把引理3推广为:
引理 4设f(x),g(x) 在[a,b]上连续,且g(x)是单射,则存在[a1,b1][a,b],且b1-a1=(b-a),
使得=
下面证明柯西中值定理
首先证明,当,[a,b],且≠时,有g()≠g()。
若g()=g(),由引理 3 ,存在[1,1][,],且1-1=(-),使==0,从而g(1)=g(1)。在[1,1]上再次应用引理3 ,存在[2,2][1,1],且2-2=1-1,使==0,
从而g(2)=g(2)。反复利用引理3 有,最终可得一个闭区间套{[n,n]},满足(n-n)=0,且g(n)=g(n),由闭区间套定理,存在[,][a,b],使n=n=
根据引理2 得:
g"()==0,
这与条件g"(x)≠0(x(a,b))相矛盾,再根据引理4有,存在[1,1][a,b],
且b1-a1=(b-a),
使 = 。
反复利用引理4,类似与前面的证明,可得闭区间套{[n,n]},满足(n-n)=0,且=。
由闭区间套定理存在c[a,b],使n=n=c,再由引理2 有:
===
4. 用行列式法证明柯西中值定理
构造辅助函数
G(x)=f(a) g(b) 1f(b) g(b) 1f(x) g(x)1,
则
(1)因为f(x),g(x)在[a,b]上连续且
G(x)=g(a)1g(b)1f(x)-f(a)1f(b)1g(x)+f(a)g(a)f(b)g(b)
=[g(a)-g(b)]f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)+[f(a)f(b)-f(b)g(a)], 故G(x)在[a,b]上是连续的。
(2)因为f"(x),g"(x)在(a,b)内存在,且
G"(x)=[g(a)-g(b)]f"(x)-[f(a)-f(b)]g"(x),
从而G"(x)在(a,b)内也存在,即G(x)在(a,b)内可导
(3)由于G(a)=f(a) g(a) 1f(b) g(b) 1f(a) g(b) 1=0 ,G(b)f(a) g(a) 1f(b) g(b) 1f(b) g(b) 1=0。
即:G(a)=G(b)。
综上所述,G(x)满足罗尔中值定理的全部条件,故由罗尔中值定理得,至少存在(a,b),使得G"()=0,即
[g(a)-g(b)]f"()-[f(a)-f(b)]g"()=0, 又由条件(2),(a,b),g"()≠0,故也可以写为=,这正是柯西中值定理。柯西中值定理是微分学中最主要定理之一,并有极为广泛的应用。关于它的证明一般采用辅助函数的方法,利用罗尔定理来证明,而证明中的难点在于构造辅助函数。本文所给出的几种证明方法有助于师生更加深入地了解柯西中值定理,进而使其被更好地认知和应用,同时又在教学中具有借鉴作用。
参考文献:
[1]姚正安,翟连林.数学分析方论[M].北京:北京农业大学出版社,1992.
[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:人民教育出版社,1980.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法 [M].北京:高等教育出版社,1988.
(江苏淮阴师范学院)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。