【摘要】 定积分概念是《高等教学》课程中的核心概念,与极限、连续、导数、微分及不定积分有着密切联系.“微元法”是定积分理论应用于实际问题的一种数学分析方法,是理论应用于实践的简化形式.但在初学者的学习中,普遍存在将这些概念割裂开来,不能有机地联系在一起,导致应用“微元法”只停留在机械模仿的层次上.本文从定积分概念的数学结构分析出发,给出寻找“微元”的一般方法,对定积分概念的理解和“微元法”的掌握提出了一个有益的参考思路.
【关键词】 定积分概念;数学结构;微元法理解
布鲁纳的认知结构学习论认为,知识结构的学习有助于对知识的理解和记忆,也有助于知识的迁移.但其中相关的知识点要在学生的头脑中形成一个结构,并达到真正理解,还需要一个“螺旋式”的认知过程.对定积分概念的结构分析,既有助于将定积分的数学逻辑结构与心理认知结构统一起来,更有助于学习者对“微元法”的数学思想和方法进行积极主动的意义构建,从而达到对定积分概念更深层次的理解和掌握.
一、定积分概念的数学结构
根据高等数学我们知道,对于有界函数f(x),x∈[a,b],在闭区间[a,b]上的定积分定义表达式为
∫baf(x)dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f(ξi)Δxi=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+f(ξ3)Δx3+…+f(ξi)Δxi+…
其中,λ=max 1≤i≤n {Δxi},ξi∈[xi-1,xi].
不妨设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则无论闭区间[a,b]如何分,ξi∈[xi-1,xi]如何取,所得到无穷多项f(ξi)Δxi和的值(定积分的值)都存在且唯一确定的.即定积分的值是由函数f(x)(称为被积函数)与其定义区间[a,b](称为积分区间)唯一决定的,其值是在λ=max 1≤i≤n {Δxi}趋于零变化过程中,f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n,…)无穷累加的和.如何认识这个“和”呢?首先,这种“和”已不是一般意义的代数和,它与有限项的和有着本质的区别,它是借助有限项的和∑ n i=1 f(ξi)Δxi的极限来认识无限项的和,本质上是一种极限问题,即∫baf(x)dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f(ξi)Δxi,它是事物无限运动变化在量的方面的反映,是有限与无限的辩证统一.其次,∫baf(x)dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f(ξi)Δxi作为某一个量 F 而言,在闭区间[a,b]上具有可加性且连续分布.
因此,被积函数f(x)与积分闭区间[a,b]就成为定积分的两个基本构成性要素,乘积f(ξi)Δxi是定积分的过程性要素.定积分的值是这些要素的相互联系、相互作用、从有限到无限运动变化的结果.
设量F 在闭区间[a,b]上具有可加性且连续分布.不难想象量F 在闭区间[a,b]上被分割的部分量为ΔFi(i=1,2,3,…),可以看成是F(x)在点x变到x+Δx时的增量ΔF,不妨令ξi取x,Δxi=Δx,则部分量 ΔFi 用线性函数f(ξi)Δxi 近似代替的过程,可以表示为ΔF≈f(x)Δx.
又在λ=max 1≤i≤n {Δxi}趋于零的过程中,Δx=dx,根据微积分基本定理(如图),我们知道
F′(x)= ∫xaf(t)d t ′=f(x)
即
dF=F′(x)dx=f(x)dx,ΔF≈f(x)Δx=f(x)dx=dF,
也就是说,将F无限分割的过程,就是求F 的微分过程.数学上把dF=f(x)dx称之为微元素(简称微元).从定积分定义表达式结构上说,寻找量F的微元dF=f(x)dx是计算F=∫baf(x)dx的关键.有了微元就可以根据微积分基本公式(牛顿—莱布尼兹公式),将定积分
∫baf(x)dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f(ξi)Δxi
和式极限的计算,转化为求f(x)的原函数F(x)在[a,b]上的增量,即
∫baf(x)dx=F(b)-F(a).
事实上,在微积分发展史上,正是微积分基本定理架起了微分与积分之间联系的桥梁,它不仅给出了计算定积分的有效方法,而且在理论上标志着微积分完整体系的形成.
二、对微元法的数学理解
从古希腊阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”、开普勒的“行星运动三大定律”,到牛顿——莱布尼兹微积分理论的初步确立,其基本思想方法可以概括为“分割取近似,求和取极限”.在解决具体问题时,这一方法主要针对求某一总量问题,例如求面积、体积、质量、功、液体压力等,是具有可加性连续分布的量.用定积分去计算这个量F 时,按照定积分的结构分析知道,首先,必须要构建出两个基本构成性要素 —— 与量 F 有关的函数f(x)及其定义区间[a,b];其次,寻找出其过程性要素 —— 量F 在区间[a,b]上与任一小子区间[x,x+Δx]相对应的部分量ΔF的微分dF,即微元素dF=f(x)dx,然后计算F=∫baf(x)dx.这就是现行教材中所说的“微元法”.但教学中应用“微元法”解决具体的几何和物理上的问题时,往往会流于机械记忆和模仿.如何理解性地加以应用呢?
首先要明确的是一个连续变量的求和问题.为了便于理解,把所求的量F分割成部分量ΔF,F看成是某个变量的函数,如F(x),则其导数F′(x)(x点处一个度量单位上函数F(x)的增量,即F(x)在x点的变化率)与Δx乘积,即F′(x)Δx是F(x)在区间[x,x+Δx]上增量ΔF的近似值,此时Δx被当作相对静止的有限量.其次,令Δx→0,此时Δx=dx,dF=F′(x)dx.在实际问题中,它是局部范围内的以“直”代“曲”,以“不变”代“变”,以“规则”代“不规则”的过程.然后根据具体条件找出微元dF=F′(x)dx=f(x)dx,恰当选取微元是应用“微元法”解决问题的关键.
在几何的应用上,微元的确定应抓住微元的几何意义进行突破.如在平面直角坐标系中,已知曲线所围成的封闭图形的面积A,微元dA=A′(x)dx是图形在区间[x,x+dx]上一个小矩形的面积;旋转体的体积V,微元dV=V′(x)dx是旋转体在区间[x,x+dx]上一个小圆柱体的体积;在极坐标系下,曲边扇形的面积A,微元dA=A′(θ)dθ是曲边扇形在区间[θ,θ+dθ]上一个小圆扇形的面积等.
在物理的应用上,微元的确定应抓住微元的物理意义进行突破.如变力f(x)沿位移方向作功W,dW=W′(x)dx是恒力f(x)在位移区间[x,x+dx]上对物体所作的功;以速度v(t)沿直线运动物体的路程S,dS=S′(t)dt是物体以速度v(t)在时间区间[t,t+dt]上匀速运动所经过的路程;以密度ρ(x)非均匀分布的细棒质量M,dM=M′(x)dx是细棒在长度区间[x,x+dx]上以密度ρ(x)均匀分布的质量等.
值得指出的是对于抽水作功问题,微元的选取在学习中很难理解.有些教材中只说明“已不是变力作功问题,但仍可以用微元法”.如何理解用微元法求抽水作功问题呢?首先,抽水过程是连续变化的,所做的功W 不妨理解为是关于水深x的可导函数W(x),则W′(x)是水深x处的一个单位深度上功的增量,W′(x)与Δx乘积就是功W 在深度区间[x,x+Δx]上的增量ΔW的近似值,即ΔW≈W′(x)Δx,其物理意义是将厚度为Δx的薄层水抽出经过位移x所做功的近似值,此时Δx被当作相对静止的有限量.其次,令薄层水厚度Δx→0,此时Δx=dx,即功的微元dW=W′(x)dx,再由物理学知识算出将厚度为dx的薄层水抽出经过位移x所做的功,即得到功的微元dW.
综上所述,应用“微元法”求某一连续可加性总量F 时,dF=F′(x)dx是F 在区间[x,x+dx]上增量ΔF的近似值,然后根据问题的具体意义寻找微元dF=F′(x)dx=f(x)dx,这样解决问题的思路就清晰了.
例如,在求y=sinx,x∈[0,π]与x轴围成的图形绕y轴所形成的旋转体的体积V时,微元dV=V′(x)dx是旋转体在区间[x,x+dx]上一个高为y=sinx,x∈[0,π]小圆环柱体的体积,则
dV=2xπsinxdx.
V=∫π02xπsinxdx=2π2.
【参考文献】
[1]陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2008.
[2]颜文勇,柯善军.高等应用数学[M].北京:高等教育出版社,2005,8.