摘要:本文在讨论函数导数几何含义的基础上,分析导数和微分的关系、单变量和多变量的区别、偏导数和方向导数的关系、方向导数和混合偏导数的关系。最后通过计算方法中的典型例子来说明如何利用导数的几何含义来构造计算方法,以及如何从一维的情形直接推广到高维的情形。
关键词:导数;几何含义;牛顿法
中图分类号:G642.41 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2012)11-0089-03
一、导数和其他相关概念的关系
1.一阶导数和高次次导数的关系。一般认为,高次导数是次一阶导数的导数,这样的表述在数学上容易表达清楚,对理解能力比较强的学生来说是可以接受的。然而事实表明,如果没有对高阶导数的直观理解还是比较难于应用的。当然高阶导数的直观含义比较复杂,和具体的应用有关;纯粹从微积分的角度上讲,比较常见的主要是曲线曲率和弯曲方向,比如一般来说,f""(x)>0表示向下凸,f""(x)<0表示向上凸。这些性质在优化和数据处理方面有着广发应用。
2.导数和微分的区别。导数表述的是因变量相对于特定自变量的相关变化率,而微分用来刻画因变量的增量和自变量增量之间是否存在局部的线性关系。一般来说,非线性函数因变量的增量和自变量的增量之间并非线性关系,但微分的特殊意义在于:在局部,我们可以用自变量增量的线性组合来近似函数的非线性增量。对一维情形而言,其直观含义在于用三角形的面积来近似原曲边三角形的面积,所以微分和导数的几何含义有些不同,自然也导致在多元函数时微分和导数不等价。
上面分析了导数的几何含义与在计算方法中的用途,除此而外,在其他很多方面当然还有很精彩的应用,限于篇幅,在此就不在一一论述。总之,通过对导数几何含义的直观分析,让我们跟容易理解导数,也能更好地运用,真正做到学以致用。
参考文献:
[1]傅英定,谢云逊.微积分[M].北京:高等教育出版社,2009.
[2]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2009.
[3]蔡大用,白峰杉.高等数值分析[M].北京:清华大学出版社,2005.
[4]钟尔杰,黄廷祝.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2006.
[5]JohnH.Mathews.numerical method with Matlab,2009.
[6]Faires J.Douglas,Burden Richard L.,Numerical Analysis[J].Clarendon Press,1958.
[7]陈宝林.最优化理论与算法(第2版)[M].北京:清华大学出版社,2005.
[8]袁亚湘.非线性优化计算方法(第2版)[M].北京:科学出版社,2008.
基金项目:该研究得到中央高校基本科研业务费ZYGX2009J098支持。