摘要:实数系的连续性是区别于有理数系的一个特征性质,作为实数系连续性表述之一的闭区间套定理在分析数学中无疑起着非常重要的作用,为了对闭区间套定理有更深刻的认识,本文在介绍了闭区间套的定义及闭区间套定理,说明了闭区间套定理的几何意义及对闭区间套定理的几点说明的基础上;用闭区间套定理证明了实数系连续性的其他等价定理如:(1)确界原理;2)有限覆盖定理;(3)聚点定理;(4) 致密性定理;(5) 柯西收敛准则;(6) 单调有界定理;(7) 完全覆盖定理。
关键词:区间套闭区间套定理覆盖连续性
【中图分类号】 O141.3 【文献标识码】 A【文章编号】1671-8437(2010)02-0003-01
1 引言
实数系的连续性是分析学的基础,对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性。实数系R的连续性,从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”,但是从分析学的角度阐述,实数系的连续性有多种表述方式且彼此等价,因此可以被相互推证。在大部分的文献中都是采用循环证明的,如在文献[1]中,确界原理 单调有界定理 闭区间套定理 有限覆盖定理 聚点定理 柯西收敛准则 确界原理。在文献[2]中是以单调有界数列存在极限为公理,其证法是:单调有界数列存在极限 闭区间套定理 确界原理 有限覆盖定理 聚点定理 致密性定理 柯西收敛准则。但是很少是以某一个命题为基础来证明其他命题的,本文将以闭区间套定理作为基础来尝试证明实数系连续性的上述其他命题和实数系连续性的另外一种表述方式(完全覆盖定理)。
2 介绍闭区间套定义及闭区间套定理
定义2.1[1]:(闭区间套定义)设闭区间列{[an,bn]}有如下性质:
(i)[an,bn]包含[an+1,bn+1],n=1,2,…,
(ii)lim(bn-an)=0
则称{[an,bn]}为闭区间套,或简称区间套。
定理2.1[1]:(闭区间套定理)若{[an,bn]}是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ ,使得ξ∈[an,bn],n=1,2,…即an≤ξ≤bn,n=1,2,…;且a=
闭区间套定理的几何意义[3]:设an和bn在数直线上的对应点是 An和Bn,由定义2.1的条件(i)知,对任意正整数n,线段 都包含在线段 之中。
由定义2.1条件(ii)知,这些线段之长的极限是0,这样必存在唯一一点P(P的坐标是ξ)属于每一个线段(n=1,2,…),换句话说,点P是所有线段的唯一公共点,如图2.1。
说明(1):闭区间套定理要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论正确。例如区间列{(0,)} ,虽然这列开区间也是前一个包含后一个,且=0但是不存在属于所有开区间的公共点。
说明(2):如果将闭区间套改为严格的开区间套,即存在数列{an} 与{bn},使得a1 说明(3):由于闭区间套定理是实数系连续性的表述之一,而实数系的连续性即实数集可以与数轴上的点集建立一一对应的关系,所以如果将数轴上的某点去掉,则闭区间套定理有可能不成立.例如闭区间列{[-,]}满足闭区间套定理,如果将数轴上原点去掉,则闭区间套定理就不成立。 3 闭区间套定理证明实数系连续性的其他定理 实数系连续性定理是彼此等价的,在各种数学分析教材中都是采用循环证法,本部分则介绍用闭区间套定理证明实数系连续性的其他等价形式。 定理3.1:(确界原理)若非空数集S有上界(下界),则数集S存在唯一的上确界( 下确界)。 分析:我们只给出数集S有上确界的证明.为此, 我们应用闭区间套定理将所要找的数集S的上确界ξ“套”出来.最后用反证法证明上确界 的唯一性。 证明:参见文献[3] 说明(1):数集S的上确界ξ可能属于S,也可能不属于S。ξ属于S的充要条件是S有最大值。这时最大值就是上确界,下确界与最小值也有类似的关系。 说明(2):上确界存在则必唯一,下确界也是这样。 说明(3):一般说来,在一个有界数集上要想找到与数集有特殊关系的数(最大的下界或最小的上界),要使用确界定理,其作用可以说与闭区间套定理的作用类似。 定理3.2:(有限覆盖定理)设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖 。 证明:参见文献[1] 说明[4]:有限覆盖定理与闭区间套定理、确界定理不同,后两者是着眼于一点的局部,而有限覆盖定理则着眼于区间的整体,它的作用是从覆盖闭区间[a,b]的无限的开区间选出有限个开区间也能覆盖[a,b],正是通过这种方法,可以将闭区间[a,b]上每点具有的局部性质转化为整个区间上的整体性质,所以在证明中涉及到闭区间上的整体性质时,可以考虑使用有限覆盖定理。 定理3.3:(聚点定理)数轴上有界无限点集S至少有一个聚点。 证明:由于点集S有界,不妨设 s 闭区间[a1,b1]具有性质:[a1,b1] 中含有S中的无限个点.在此将具有这个性质的闭区间称为具有性质P•的闭区间,将闭区间[a1,b1]二等分得到a,和,b1两个闭区间,则其中至少有一个闭区间具有性质P•我们将这个具有性质P•的闭区间记为[a2,b2],用同样的方法将闭区间[a2,b2]二等分得到具有性质P•的闭区间[a3,b3],如此无限的等分下去就得到一个闭区间列{[an,bn]}满足: (i)[an,bn]包含[an+1,bn+1],n=1,2,…, (ii)bn-an=→0(n→∞) 则存在唯一的一点ξ∈[an,bn],n=1,2…且an=bn=ξ,则我们说ξ 就是S的一个聚点.事实上,由an=bn=ξ,即对任意的ε>0,存在一个正整数N,当m>N,a,b包含U(ξ,ε)从而S中有无穷多个点属于U(ξ,ε),即U(ξ,ε)含有S的无穷多个点,即ξ是S的一个聚点。 定理3.4:(致密性定理)有界数列必有收敛子列。 在参考文献[4]的证明过程中,对于数列{xn}的分类不完备,下面介绍另一种证法. 证明:参见文献[5] 定理3.5:(柯西收敛准则)数列{xn}收敛的充要条件是:对任意的ε>0 ,存在正整数N,,使得当n,m>N时有x-x<ε。 分析:在充分性的证明中,首先要找一个数ξ(即数列{xn}的极限),其次要说明ξ就是数列{xn}的极限,在此我们应用闭区间套定理将这个数ξ“套”出来。因为“套”出来的这个数ξ必须是数列{xn}的极限,所以在构造闭区间列时,每个闭区间所具有的性质必须与ξ是数列{xn}的极限这个结论相适应.为此必须要求每个闭区间中都含有数列{xn}的无限多项。 命题:对固定的x,若任取ε>0,在U(x,ε)中总含有柯西数列{an}的无穷多项,则an=x。 事实上,对任意的ε>0,在U(x,ε)内总含有柯西数列{an}的无穷多项,即对任意的ε>0,存在{ak}包含{an},使对任意的k∈N+,有a-x<ε,又因为{an}为柯西数列,所以对上述的ε>0,存在N∈N+,当m,n>N时,a-am<ε,对此N,取k0∈N+,使nk0>N ,则当n>N 时,a-x≤a-a+a-x<ε+ε=2ε所以an=x。 证明:(必要性)因为数列{xn}收敛,令xn=a,即对任意的ε>0,存在正整数N,当m,n>N时,有x-a<,x-a<则 x-xn=x-a+a-xn≤x-a+xn-a<+=ε。 (充分性)取ε0=1存在正整数N1,当m0,n>N1,有xn-xmo<ε0=1则xn=xn-x+x≤xn-x+x<ε0+x=1+x. 取M=max{x1,x2,…,x,1+x}可见数列{xn}有界,设其上界为b1,下界为a1则{xn}包含[a1,b1],故闭区间[a1,b1]中含有{xn}的无限多项,在此将具有此性质的闭区间称为具有性质P*的闭区间.将闭区间[a1,b1]二等分得到两个闭区间[a1,]和[,b1],则其中至少有一个闭区间具有性质P*,将具有性质P*的这个闭区间记为[a2,b2],用同样的方法将闭区间[a2,b2]二等分得到具有性质 P*的闭区间[a3,b3],如此无限的等分下去就得到一个闭区间列{[an,bn]} 满足: (i)[an,bn]包含[an+1,bn+1],n=1,2,…, (ii)bn-an=→0(n→∞) 则存在唯一的ξ∈[an,bn],n=1,2…且an=bn=ξ,于是对任意的ξ>0,存在一个正整数N,当n>N,[an,bn]包含∪(ξ,ε)所以ξ的ε邻域含有{xn}的无限多项,又因为{xn}为柯西列,故ξ是数列{xn}的极限,所以数列{xn}收敛。 说明:在文献[4]中,在证明ξ的ε邻域含有{xn}的无限多项之后就说ξ是数列{xn}的极限,这个地方不够完善,因此补充了命题及其证明。 定理3.6 (单调有界定理)在实数系中,有界的单调数列必有极限。 证明:参见文献[6] 说明:单调递增而有界的数列,其极限就是数列的上确界;单调递减而有界的数列,其极限就是数列的下确界. 定义3.1[7]:[a,b]的一个闭子区间族C叫做[a,b]的一个完全覆盖,如果对每一个x∈[a,b],都存在一个实数δ(x)>0 ,使对[a,b]的每一个包含x的闭子区间I,当I<δ(x)时I∈C, 。 定理3.7:(完全覆盖定理)[7]若[a,b]的闭子区间簇C是[a,b]的一个完全覆盖,则C必包含[a,b]的一个分割,即存在:a=x0 证明:(反证法)若C不包含[a,b]的任意分割,将[a,b]二等分为两个闭区间a,和,b,则其中至少有一个闭区间,C不包含它的任意分割,将这个闭区间记为[a1,b1],在将[a1,b1]二等分,同样至少存在一个闭区间, 不包含它的任意分割,将这个闭区间记为[a2,b2],将此步骤无限的进行下去就可以得到一个闭区间列{[an,bn]}满足: (i)[a,b]包含[an,bn]包含[an+1,bn+1],n=1,2,…, (ii)bn-an=(b-a),n=1,2,…, (iii)对任意的自然数n,C不包含[an,bn]的任意分割; 由(i)(ii),根据闭区间套定理,存在唯一的ξ∈[an,bn],n=1,2,…自然有ξ∈[a,b]另一方面,由于C是[a,b]的一个完全覆盖,因此对于ξ∈[a,b]存在δ(ξ)>0对满足ξ∈I且I<δ(ξ)的[a,b]的任一闭子区间I(I表示区间I的长度),必有I∈C ,注意到当n充分大以后有<δ(ξ),对于这样n,有ξ∈[an,bn],从而[an,bn]∈C,这与(iii)矛盾,定理得证。 本文是以闭区间套定理为基础来证明实数系连续性的其他等价定理,其实实数系连续性的其他表述形式完全可以做同样的工作。 参考文献: [1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)【M】.北京:高等教育出版社,1991:161-171. [2]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册)【M】.北京:高等教育出版社,1980:123-127. [3]东北师范大学等校合编 数学分析(上册)【M】.北京:人民教育出版社,1983:333-334. [4]李莲洁.实数连续性等价命题的证明及应用【J】.淮北煤师院学报,2002,23(2):73-78. [5]周性伟,刘立民.编著 数学分析( 上册) 【M】.天津:南开大学出版社,1986:118-119. [6]胡丽平.实数集连续性定理的证明【J】.固原师专学报(自然科学版),2001,22(3):50. [7]Michael W.Botsko.The Use of Full covers in Real Analysis.The American Mathematical Monthly 1989,96(4). [8]Michael W.Botsko. A unified Treatment of Various Theorems in Elementary Analysis.The American Mathematical Monthly 1987.94(5).