【摘要】当今社会和科学技术的发展使数学深入到各个领域,人们更加认识到数学的重要性。数学科学已成为与自然科学、社会科学并列的一个大的科学门类。高等数学是数学科学最主要和最重要的一个分支。微积分既是每个大学生需要掌握的大学数学知识,也是大部分专业学生考研的必考科目。懂一点微积分史是很有必要的。
【关键词】微积分 逻辑 “三部曲”
【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2013)09-0129-01
1.微积分是逐步发展起来的
微积分学,是人类思维的伟大成果之一。在浩如烟海的数学学科中,它是主干的主干,基础的基础。微积分的重要概念的萌芽,产生和发展,直至最后比较完善,时达两千五百年之久。在历史的悠久上,它与欧几里得几何并驾齐驱。然而,欧几里德几何自古至今,几乎没有根本的改变(非欧几何是另外一回事)。而微积分的重要概念,自古至今逐步发展,19世纪以前的数学家们大都涉足其内。因此,尽管人们常称牛顿和莱布尼兹为这门课程的开山鼻祖,但微积分的发展远非一两个人的工作,这是漫长的一系列思想演变的结果,牛顿和莱布尼兹的工作大大得益于他们的前辈,而且他们的微积分在逻辑上,在基础上是不很令人满意的。他们只是在创立微积分的基本方法以及发现微分和积分的互逆关系上比较成熟的两个人,并不意味着今天这门学科的成果是他们两人的工作。微积分的基本概念,是在他们两人之后,经过了两个世纪的不断努力和严格推敲而完善起来的。因此,我们学习一点有关微积分的历史,就不会忘记这门学科是如何孕育和酝酿的,也不会忽视后期严格表达的意义。只有这样,我们才能对这门学科的发展有一个真实的概貌,才能对有关的科学家做出恰如其分的评价,也才能更好地认识和学习《微积分》。
2.微积分发展史上的逻辑要素
微积分是一种撼人心灵的许许多多科学家智力奋斗的结果,它的发展与时代的前进息息相关。它在史学、哲学、美学及逻辑学等等方面表现出富有魅力的色彩。
亚里士多德是逻辑学的奠基人。按照他的观点,在演绎证明的科学(如数学)中,涉及这一学科的全部真命题分为两类:一类是基本命题(公理),另一类是由基本命题用逻辑方法推导出来的命题(定理)。与此同时,命题所使用的全部概念也分为两类:一类是基本概念,另一类是由基本概念直接或间接加以规定的派生概念。 亚里士多德对这样的逻辑结构提出了两个要求:第一,公里必须是明显的,毋需加以证明的命题;基本概念是可以直接理解的,毋需加以定义的概念。第二,由公理通过逻辑证明定理,以及由基本概念通过逻辑定义派生概念,必须遵守逻辑规则。这就是亚里士多德提出的“公理法”。这一公理法的不少条款迄今仍在应用。在当时的历史条件下,这是相当不易的,在逻辑学领域,可谓一个高峰时期。欧几里得的《几何原本》,正是运用这一方法,把467个数学命题整理成一环紧扣一环的逻辑顺序,这是数学发展史上第一次用公理方法写出的极为成功的数学著作。《几何原本》在逻辑上的完美无缺,在19世纪之前,在数学中没有其它著作可以与之抗衡。列宁曾指出:“任何科学都是应用逻辑”。数学更是应用逻辑的典型。特别地,逻辑为数学分析的发展提供了演绎的方法论。没有逻辑,没有公理化体系,不可能有当代数学,也不可能有今天的微积分。
但是人们必须明白:合乎逻辑的未必是最理想的,因为人类的知识积累的顺序与逻辑的顺序未必一致。而按照逻辑学方法,只要一个环节通不过,就是不允许的。如果人们因为一个环节卡住了就不敢逾越前进,世界就不会有今天的文明了。比如:欧几里得的《几何原本》表现了一种冗长枯燥讲究严格的顽固性。穷竭法也是这样。过分的崇拜演绎方法论,必然走上歧途。在当时,演绎法由于其巨大的成功,致使毕达哥拉斯学派的某些人,竟想用演绎法来描绘整个世界,当然以失败而告终。但当毕达哥拉斯学派的面积贴合理论(即行的全等理论)遇到困难时,就迫使他们放弃了本来正确的数形等同的概念。这是因为“公理法”总是以某种“前提”为基础的,把数缩小到以有理数为基础,数与形的等同当然就不成立了。
值得深思的是,亚里士多德是公元前四世纪人(公元前384-前322),逻辑学竟发展到如此登峰造极之地步,是难以想象的,也是值得探索的。也许是因为人文学科往往比自然科学更富有想象,因而它常常走在前面。亚里士多德所处的时代,正是中国的战国时期(前475-前221),而春秋(前770-前476)、战国是中国历史上空前繁荣的百家争鸣的时代。当时,地处隔绝的中西方文明并驾齐驱,充分表明中国属于世界文明是完全够格的。另外,为什么欧几里德几何在当时大放异彩,以致传言“上帝常以几何学家自居”(柏拉图语)?这似乎同那个时代科学的总体水平不相适应,这也是值得探索的。其实,其一是逻辑学的高度发展;其二是人脑对形的反映最敏感有关。有人预言,当我们与外星人初次相遇时,彼此交流思想最好的方法,不是语言,也不是实物,而是图形。即使到了今天,人们还是认为:初等几何是训练人们思维的最理想的工具之一。因此,在高度发展的逻辑学基础上,出现欧几里得《几何原本》这样的杰作,就并非偶然了。
严格的演绎方法的运用,在穷竭法中也是十分成功的。穷竭法以阿基米德公设为基础,最后用双重归谬法,在逻辑上是无懈可击的。但证法冗长,枯燥,致使其应用范围受到限制。欧几里得《几何原本》之后的若干世纪中,由于受柏拉图的影响,对数学问题分析研究的那种讲究严格的倾向淡薄了,代之以一种不很严格以直观为基础的方法。13世纪以后,由阿拉伯传入并在意大利得到发展的不很审慎而侧重应用的观念进一步加浓。而微积分恰恰是在不很严格讲究实用的基础上,而不是在欧几里得严密思想的基础上发展起来的。不那么审慎而侧重应用的观点,是对欧几里得讲究严格的一种否定。其特点是:先把注意力放在运算上,而不放在基础的严格上。
牛顿和莱布尼兹正是在上述思潮影响下创立了微积分。他们二人都曾意识到他们创立的学科的基础不甚完满。但正如莱布尼兹所说:“对于那些试图证明一切,甚至连最初的原则也想加以证明的人们的努力,我给以很高的评价,而且我自己也常常参与其事。但是我不赞成因过分的细密而阻碍了创造的技巧,或者在这种借口下抛弃最好的创造而剥夺其结果”。莱布尼兹的话是完全对的。如果我们一味追求严格,就只能在欧几里德几何面前拜倒而停步不前了。
然而,科学最终是讲究严格的,不严格就不成为科学。微积分的基础所遇到的严重的逻辑困难,在牛顿时期已引人瞩目,因而受到猛烈攻击,并被认为是数学史上的第二次危机。后来,通过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯及狄金德等人,微积分建立在实数连续统的理论的基础上,整个微积分学终于走上了严格逻辑的轨道。
从逻辑学的角度观察,从阿基米德到牛顿、莱布尼兹,再到19世纪,数学分析的逻辑思维经历了肯定(几何式的讲究严格的,如穷竭法)——否定(不很审慎,重方法重应用,如牛顿和莱布尼兹的微积分)——否定之否定(高度演绎的,算术化的,如柯西的微积分)的发展阶段。别的学科的发展也许有类似之处,但在微积分发展的历史长河中,这个“三部曲”是十分完整的。
参考文献:
[1]列宁:《哲学笔记》,人民出版社,1974, 216页。
[2]菲赫金哥尔茨:数学分析原理(中译本)第一卷第二分册。
[3]周述岐:《微积分思想简史》,中国人民大学出版社,1987。