【摘 要】目前我国的理工类院校,基本都开设了高等数学学科,而极限作为重要的数学学科重要基础内容之一,其中无穷和式极限计算研究具有非常高的价值,而且应用范围十分广泛,但是也成为了高等数学中的学习难点。为了正确分析无穷和式极限计算方法,使用了定积分计算法则进行演示,希望为无穷和式极限研究者提供思路。
【关键词】定积分;无穷和式极限;连续函数
在进行高等数学的学习过程中,有多种函数极限求值方法,但是如果计算“无穷个无穷小数之和”时,往往无法使用常规计算方法。正常解题方法,主要先解出前n项无穷数列综合,之后在进行合适极限求解,但是在前n项和无法求出时,就需要使用定积分数学概念进行解析,求出其极限值。
1.定积分概念与分析
定积分的概念主要为:预设函数f(x)在规定区间[a,b]上有界和定义,随机取一组分点b=xn>...x2>x1>x0=a,而且需要将[a,b]区间分为数量为n的区间[a,b]=U■■x■,x■,i小区具体长度为△xi=xi-xi-1,(i=1,2,,,,n).在不同小区的[xi-1,x1]上随机取点ζ1,(i=1,2,,,,n),根据点得出和式∑■■f(ζ■)△x■,该和式可以作为f(x)在区间[a,b]上的积分总和,将其记作‖△x‖=max1
根据定积分定义可以分为两层含义:其一是f(x)在区间[a,b]上可积,前期是f(x)在区间[a,b]上有界,而且∑■■f(ζ■)△x■与‖△x‖→0必须存在极限,但是f(x)并不需要在区间[a,b]上连续,由此可以证明,如果f(x)与积分区间存在有限或连续的第一类断点,那么就可以证明f(x)在区间[a,b]上是必然可积的。其二是以证实f(x)可以在区间[a,b]上积,那么就可以选择任意分法在[a,b]区间上的xi,通过[xi-1,xi]的任意取法,而lim|△x|→0∑■■f(ζ■)△x■的总存在完全相同,所以可用定积分数学概念进行■f(x)dx的求解,为了使计算更加简便,一般都会采取特殊等分法处理[a,b]区间,并且取特殊值xi,取值为小区间左右两端点的数值。根据定积分数学概念进行分析最终获得预备定理:f(x)在区间[a,b]上属于连续状态,可以得出:lim■■∑■■f[a+■(b-a)]=■f(x)dx(*)。
2.定积分求解无穷和式极限
根据定积分数学概念可以得出,定积分代表了积分和极限,也是无穷和式极限,根据公式可以得出■f(x)dx=lim■∑■■f(ζ■)△x■。在计算无穷和式极限时,需要将和式形式转换成某函数的区间积分和,其计算关键点在于确定[a,b]区间与函数f(x),通过正确的数值可以使用定积分数学概念求出极限值。
例如在计算lim■(■+■+···+■)的极限时,可以进行以下分析。
该问题主要为了解决和式形式的n项和,但是在求解数列n项和的过程中难度较大,也无法采取先求和值,之后在求出极限值的方法。为了解决问题,需要采用不同计算方式,通过定积分数学概念进行解答,找出明确的f(x)与[a,b]区间,转换成lim■∑■■f(ζ■)△x■的模式,之后在进行定积分求解。
解lim■(■+■+···+■)
=■(■+■+···+■)×■
=■■■×■
在转变形式后,可以将其作为函数f(x)=■,并且将其在[0,1]区间上划分为n等分,取区间端点ξ=■作为构成积分和式的极限介点,而且在[0,1]的区间上f(x)=■是连续性,所以存在■■dx。如果i值出现变化,则需要将积分下限调整为:a-lim■■ (k为第一个i值);积分上线调整为:b-lim■■(m为最后一个i值),并且需要将lim■a■调整为定积分公式lim■a■=lim■∑■■f(■)■=■f(x)dx。
而原式=lim■∑■■f(ζ■)△x■
=■■dx
=ln(1+x)■=ln2
根据上述公式进行分析后,其前n项数列主要利用定积分数学概念进行计算,不仅证明了定积分数学概念的数学特点,也对其实用性进行详细的分析。通过数列可以而将无穷和式极限转变为适合定积分数学概念的计算方式,通过适合的转化方式,将无穷和式极限转变为积分和形式,即■f(x)dxlim■∑■■f(ζ■)△xi,f(x)函数与[a,b]区间必须准确,在确认正确性后,可以运用定积分计算方法进行无穷和式极限求解,但是由于f(x)函数与[a,b]区间不固定的选取方式,所以可能出现多种模式改变方式,在进行实际演算的过程中,必须根据实际问题进行分析,而且选择过程必须具有针对性,使其与标准计算内容更加契合。
3.结语
求无穷和式极限的方法多种多样,只要遵循相关规则,合理的进行变形,就可以得到准确的解决方法。在计算阶段,必须获得正确的积分区间,精准计算出被积函数,通过定积分数学概念,有效解出各类无穷和式极限问题,使复杂的运输变得更加简便。■
【参考文献】
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