摘要: 探讨了非平稳随机激励下大规模非线性系统随机振动Monte Carlo模拟法。引入等效激励的概念,把非线性系统动力方程写成状态方程的形式,并采用精细积分法对状态方程进行数值求解,导出非线性系统振动分析的显式迭代法。基于所导出的显式迭代公式,可以有效提高单次确定性非线性振动分析的计算效率,从而可以通过Monte Carlo模拟获得非平稳随机激励下非线性系统随机响应的统计信息,同时还可以获取非线性系统随机响应的演化概率密度函数。数值算例表明,所提出的方法迭代收敛速度快,计算精度高,适用于求解大规模非线性系统随机振动问题。
关键词:随机振动; 非线性振动; 显式迭代法; Monte Carlo模拟法
中图分类号:O324; TU311.3
文献标识码: A
文章编号: 10044523(2014)02015907
引言
线性系统随机振动分析的研究已经比较成熟,并已开始进入工程实用阶段。传统功率谱方法及其改进方法[1],如虚拟激励法[2],是求解线性系统随机振动问题的主要方法,但在非平稳随机激励的情况下,这类方法是一种时频域混合求解方法,计算效率较低。最近提出的结构随机振动时域显式法[3~6],直接在时域中求解,被认为是目前解决线性系统非平稳随机振动问题效率较高的一种方法。
对于非线性系统随机振动问题,当随机激励仅限于高斯白噪声时,利用FPK方程法可以得到非线性系统的精确稳态解[7~9],但这仅能应用于自由度数比较少的系统。基于Hamilton理论体系也可以获取非线性系统随机振动FPK方程的平稳解[10]。随机平均法实质上是利用随机平均原理寻求一个与原系统近似等效
的受白噪声激励的系统[11,12],然后用FPK方程法求解该等效系统,因此该法可以处理非白噪声宽带激励问题,且可以使FPK方程的求解得到简化,但仍难以用于求解多自由度非线性系统。
统计矩截断法是一类求解白噪声激励下非线性系统反应矩的方法[13~15],在假定响应服从高斯分布的前提下通过截断高阶矩的办法构造矩方程,可适用于非线性系统受平稳或非平稳随机激励情况,但该法计算量较大,且精度依赖于截断的矩数。随机摄动法是非线性确定性振动摄动法在随机问题中的直接推广[13],可用来确定弱非线性体系在高斯平稳随机激励下的反应矩。等效线性化法是一种用统计意义上最优的线性系统来等效代替原非线性系统的方法[2,16,17],适用于求解多自由度非线性系统受平稳或非平稳随机激励问题,在求解各种非线性问题上被广泛使用。但该法通常低估响应的二阶距,用于结构动力可靠度分析时,其结果偏于不安全;对于自激和参激系统,即使在高斯激励下,由于响应的显著非高斯性,该法得到的高斯响应误差更大。等效非线性系统法则是以某个具有精确稳态解的非线性系统按某种准则等效代替给定的非线性系统的方法[18,19],该法应用范围还十分有限。最近十年来,广义概率密度演化理论在非线性系统随机振动分析中也有了一定的应用[20]。
尽管非线性随机振动理论已经取得了令人瞩目的重要进展,但大多数方法主要是针对非线性系统的平稳响应,而非线性系统的非平稳响应分析仍然是非线性随机振动领域的一个难点[2]。
4结论
非线性系统非平稳响应分析是非线性随机振动领域的一
个研究难点,尤其是对于多自由度系统。本文采用Monte Carlo模拟法对该问题进行了分析
。在单次非线性振动样本分析中,提出了显式迭代法,显式迭代公式中的系数矩阵仅需生成
一次,在不同的样本试验、不同的时间步都不需要进行更新,因此大幅提高了样本试验的计
算效率,有效突破了Monte Carlo模拟法计算量巨大的瓶颈,为该法在大规模非线性工程问
题的应用打下了良好的基础。
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Abstract: In the present paper, the Monte Carlo simulation method is investigated for the random vibration analysis of the largescale nonlinear systems that is subjected to nonstationary random excitations. Motion equations of nonlinear systems are first transformed into the form of state equations by introducing the concept of equivalent excitations and solved by the precise time integration method. An explicit iteration expression is then deduced for dynamic response analysis of nonlinear systems. Based on the above explicit iteration expression, the computational cost for deterministic dynamic analysis of nonlinear systems can be significantly reduced, and therefore Monte Carlo simulation can be readily conducted using the explicit iteration expression as the tool for sample tests. Statistical properties of the nonstationary random response of a nonlinear system, including the evolutionary probability density function of the response, can be obtained with the proposed method. Numerical examples show that the present approach is of high accuracy and efficiency and is suitable for random vibration analysis of largescale nonlinear systems.
Key words: random vibration; nonlinear vibration; explicit iteration method; Monte Carlo simulation method