【摘 要】以实际物理问题作为背景的含有参数扰动因素的非线性波方程的研究是当代非线性科学的一个重要研究方向。本文应用改进了的Jacobi椭圆函数展开法求解在受扰情形下的变系数组合KdV-mKdV方程,获得了一些新的变速解。
【关键词】含扰动因素的非线性波方程 Jacobi椭圆函数 变系数组合KdV-mKdV方程
【中图分类号】O175.29 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2011)15-0027-03
一 引言
刘适达、付遵涛等提出的Jacobi椭圆函数展开法(Jacobi elliptic function expansion method)成功地求得了一系列非线性波方程的精确周期解(包括冲击波解和孤波解)。它的思想是将偏微分方程的解展开成Jacobi椭圆函数的有穷级数的形式。但由于我们在(变系数)非线性波方程的右端加了外力扰动项,就不能再直接运用此方法进行求解。为了解决这一困难,我们引入一个对因变量的替换,通过左端项的求导抵消掉右端所加的扰动项,从而使得到的方程在Jacobi椭圆函数展开法求解的适用范围中。
二 方法简述
对给定的右端加时间扰动项的(变系数)非线性波方程,假定有两个独立自变量x,t,可以写成如下形式:
本文的这种方法是在已有的Jacobi椭圆函数展开法的基础上改进,引入一个对因变量的替换,通过左端项的求导抵消掉右端所加的扰动项,从而使得到的方程在Jacobi椭圆函数展开法求解的适用范围中。
对于Jacobi椭圆函数展开法适用性条件的分析,需要引入一个“秩”的概念。通过利用(4)式寻找方程(1)的解,将方程转化为
通过观察上述解的形式,发现都与我们所加的扰动项F(t)无关。这种情形下受扰的变系数组合KdV-mKdV方程等同于相同条件下的变系数mKdV方程,也说明了即使在有外力作用下,方程的解的性质有可能不随之发生改变。
[情形2]
当p(t)≠0,q(t)=0时,此时方程(12)的拟解展开形式仍为(13),即n=2,且a2≠0。(21)~(27)又可改写为以下五个式子:
由(4)式,其中波数为1,则波速为X(t),在情形1和情形2中观察 的表达式,X(t)均为与时间有关的函数,对应的解也就为变速解。
四 结论
本文用改进了的Jacobi椭圆函数展开法求解在受扰情形下的变系数组合KdV-mKdV方程,通过对齐次平衡法中的两种取值情形分别进行讨论,获得了一些新的变速解,包括类孤立波解、类三角函数型解及类冲击波解。这种方法还可以用去寻找其他受扰情形下非线性波动方程的解。
参考文献
[1]Liu Shikuo, Fu Zuntao, Liu Shida, et al.Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations[J].Physics Letters A, 2001, 289(1):69~74
[2]张善卿、李志斌.Jacobi椭圆函数展开法的新应用[J].物理学报,2003(5):1066~1069
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[4]化存才.非线性波动问题的若干时空动力学研究[D].上海交通大学,2002
〔责任编辑:李锦雯〕