摘要:半离散MKdV方程可以通过Backlund变换Toda非线性晶格动力学方程得到,Kwok W.Chow已得到其零边界的孤子解[1]。为简化繁琐的手工计算,文章采用实指数方法并借助Mathematica符号计算软件编程求解,不仅得到已有的零边界的孤子解,而且还得到新的非零边界孤子解。
关键词:实指数方法;半离散MKdV方程;孤子解
20世纪60年代不断地涌现一批具有非线性色散或耗散、典型的非线性演化方程[2]。非线性演化方程的研究十分丰富,也非常广泛,各种研究方法结果层出不穷,非线性科学的研究和应用越来越受到人们的广泛重视。非线性问题的研究手段有逆散射变换,Backlund变换、Dauboux变换、Hirota直接法、由Korpel提出的实指数方法,以及Kruskl开创的数值研究方法。对许多连续的非线性方程,数学上可用前面提到的方法进行精确的孤子解求解,并已经形成了较为系统的数学理论。但在处理离散实际孤子模型(如Davydov模型)时,往往将其作连续化近似,舍去高阶项后,转化为连续的非线性方程,再求其孤子解,这样得到解的性质及适用范围往往与实际问题产生差异,特别是在强非线性作用下尤为突出。我们在研究分子、原子系统等微观过程时,一般当作离散的晶格系统。离散系统一般具有连续系统没有的特殊性质,离散性显得非常重要。半离散MKdV方程可以通过Backlund变换Toda非线性晶格动力学方程得到。本文根据实数指方法[3]并借助Mathematica符号计算软件编程,求解半离散MKdV方程的孤子解。
一、求半离散MKdV方程的非零边界孤子解
uj=(1+u)(u-u)=±1j=0,±1,±2,…(1)
其中圆点表示对时间t求导,这就是半离散MKdV方程[4],Kwok W.Chow已得到其零边界的孤子解[5]:
uj=±sinh()sech[k(j-j0)-t](2)
其中=2sinh()。
下面我们将根据实指数方法用Mathmatica符号计算软件求解其非零边界的孤子解,将展开为实指数级数形式:
uj=an gnjgj<1(3)
uj=an g-njgj>1(4)
其中an为展开系数,且
gj=exp( j), j=-k(j-j0)+tk>0(5)
把(3) 式代入(1) 式再利用Cauchy的多项式级数展开定理可得:
[n-2(1+a20)]sinh()an gnj(6)
=4a0sinh()am an-m gnj+2sinh()
a1 an-m an-m gnj
通过展开(6)式,比较gnj的系数得到级数系数an关于非线性递推式:
[-2(1+a2)sinh()]a1=0(7)
[2-2(1+a2)sinh(k)]a2=4a0sinh()a2(8)
[n-2(1+a2)sinh()]ann≥3(9)
=4a0sinh()am an-m +2sinh()a1 am-1 an-m
=2(1+a2)sinh()(10)
下面我们分情况讨论方程(1)的孤子解:
1.讨论=1
通过Mathematica符号计算软件编程求解不难得到级数系数an关于a0,a1的表达式:
an=·(11)
为了使 (3) 式具有收敛性,选取
a1=2sinh()(1+a2)(12)
其中, (11) 式可变为
an=(-1)n-1nsinh()(1+a2)(13)
把(13)式代入(3) 式可得:
uj=a0+(14)
将式(5)式代入(14)式可得:
uj=a0+(15)
设a0=s tanh(),s为任意常数,则(15)式可以简化为:
uj=s tanh()+(16)
(16)式表示的孤子解。其中k=2,=1,t=j0=0,孤子边值从小到大依取值为:s=-1.0、-0.5、0.0、3.0、5.0;对应为“正负”孤子、亮孤子和超亮孤子。
s=0时,uj表示的是常规的零边界孤子解。除之以外还有各种各样的非零边界的孤子解,见图(1)。
图1
2.讨论=-1
如果我们令a=a0coth(),a1=任意常数,则可得到an的递推公式
an=·(17)
为了使 (3) 式具有收敛性,选取
a1=-2sinh()(1-a2)(18)
其中=±1,式(17)可变为
an=[(a+1)n-(a-1)n](-)nsinh()(1-a2)(19)
将(19)式代入(3) 式可得:
uj=a0-(20)
把a0=a0 coth()代入(20)式可得:
uj=a0+(21)
令a0=s tanh()
则(21)式可以简化为
uj=s tanh()-(22)
(21)式表示的孤子解。其中k=2,=1,t=j0=0,孤子边值从下到上依次取值为:s=1.0、1.01、1.27、1.5、2.16、2.5、3.0;分别对应kink孤子、“正负”孤子、黑孤子、灰孤子、常数解和超亮孤子。
s=0时,uj表示的是常规的零边界的孤子解。除之以外还有各种各样的非零边界的解,见图2。
图2
二、结束语
用实数指方法求解半离散MKdV方程,如果仅仅通过手工计算,整个过程手续相当繁琐,工作量也很大,但是借助Mathematica符号计算软件编程求解,不仅可以大大降低工作量,而且求解的速度也非常快,除了得到已有的零边界孤子解,还得到新的非零边界孤子解,且所有的孤子解都已经过验证是正确的。
参考文献:
[1] Kwok W.Chow Physica Scripta.Vol50,1994:233-237.
[2] 郭柏灵.非线性演化方程.上海:上海科技教育出版社,1996:4-28.
[3] Yi Xiao,Wen-hau Hai.Lattice solitary wave solutions of discrete nonlinear wave equations using a direct method.J.Phys.A:Math.Gen.27,1994,6873-6880.
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