摘 要:很多非线性发展方程都存在孤立子解,为此发展出了很多求解方法,如:反散射法,Darboux变换法,B?覿cklund变换法,双曲函数法等。本文结合齐次平衡法原理并利用G"/G方法,讨论了(3+1)维KdV-Zakharov-Kuznetsev方程新的精确解.
关键词:G"/G方法,齐次平衡法,KdV-Zakharov-Kuznetsev方程,精确解
中图分类号:O4
1 前言
在非线性偏微分方程的研究领域中,寻求方程的精确解一直是一个热点问题.最近几十年来,许多学者发现了一系列求解非线性偏微分方程的方法,如齐次平衡法[1]、函数展开法[2]、混合指数法[3]、辅助方程法[4]、形变映射法[5]等。
本文将在符号计算[6]的帮助下,利用G"/G方法[7]求解如下(3+1)维KdV-Zakharov-Kuznetsev方程:
(1)
它描述了在等离子体中孤子和非线性波动力学和超流体。
2 方法
G"/G方法的主要步骤如下:
步骤(1)、考虑非线性偏微分方程:
(2)
3 G"/G方法的应用
下面应用G"/G方法求解(3+1)维KdV-Zakharov-Kuznetsev方程(1),按照G"/G方法步骤(2),将式(3)代入式(1)得到n=2,即方程(1)的解可以表示为:
(5)
把(4)-(5)式代入(1)式,可将方程(1)的左边化为G"/G的多项式,令G"/G的各次幂项的系数为零,得到如下方程组:
求解上述方程组,可得以下解:
(10)
下面分情况讨论方程(1)的解:
4 结论
列出了G"/G方法的主要步骤,并利用G"/G方法获得了(3+1)KdV-Zakharov-Kuznetsev方程的双曲函数通解和三角函数通解,从求解的过程可以看出,G"/G方法在求解非线性微分方程精确解时具有直接、简洁的特点,此法也可以推广到求更为复杂的非线性微分方程的其他精确解。
参考文献
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