摘 要:本文主要研究了构造思想方法在数学分析中的应用,并总结了几种常用的构造思想方法:构造函数、构造反例、构造数列以及构造对称,并在每种方法后给出几个典型的例题来说明其在数学分析中的应用。
关键词:构造 事半功倍 精选 例题
1.构造思想方法的概述
构造思想方法是指根据待解决问题的特殊性,通过一定的手段,设计并构造出与待解问题相关并有助于该问题解决的新的数学模式.
使用构造思想方法能使很多问题难度降到很低,从而能在分析问题时取得事半功倍的效果,同时也能使读者巩固旧知,使所学知识融会贯通,真正提高理解和运用知识的能力.
2.构造思想常用的方法
2.1构造函数
构造函数通常称为作辅助函数法.即根据题意的需要,在不违背题意的要求为前提下,构造出有利于解决问题的函数.
例.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(■)=1,求证:存在点ζ,η满足0<ζ<η<1,使得f(η)=η,f′(ζ)=1.
证明:作辅助函数F(x)=f(x)-x(构造函数),则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=
f(0)-0=0,F(1)=f(1)-1=-1,F(■)=f(■)-■=■?圯F(1)F(■)=-■<0.
由零点定理知,至少存在一点η∈(■,1),使得F(η)=0,即f(η)=η.
又因为F(x)在(0,η)?奂(0,1)内可导,且F(0)=F(η)=0,从而由罗尔中值定理知,至少存在一点ζ∈(0,η),使F′(ζ)=f′(ζ)-1=0,即f′(ζ)=1,得证.
评析:很多院校研究生入学考试都把该类题型作为考查的重点,而解答此类题(根的存在性或微分介值定理)的技巧往往就在于构造适当的辅助函数.
2.2构造反例
有些命题,由于题设中含有潜在的假设,在一般情况下貌似成立,很难发现其破绽,但在满足题设的个别特殊的、极端的情况下,结论就不成立了.构造反例有助于我们培养严密的逻辑思维能力,敏捷的判断推理能力.此外,构造反例更有助于我们加深对教材中定理、公式和法则的理解.
例.设正项级数■an收敛,证明■a2n也收敛,试问反之是否成立.
证明:■an收敛?圯■an=0?圯?埚N∈N+,?坌n>N时有0≤an<1?圯0≤a2n 收敛. 反之未必成立.构造反例,如a2n=■,an=■,虽然有■■收敛,但■■却发散. 2.3构造数列 构造数列,就是把一个相对复杂的函数问题通过适当的变形转化为已知的数列模型,然后通过分析该数列来解决原函数问题. 2.3.1构造数列在归结原则中的应用 归结原则定义:■f(x)=A?圳?坌xn→ x0(n→∞)有■f(xn)=A[1].从归结原则的定义中可以看出构造数列xn的重要性. 例.证明■cosx不存在. 证明:因cosx在[0,+∞]上有定义,令xn=2nπ,xn=2nπ+■(n=1,2,3,…),则显然有{xn}?奂[0,+∞),{x′n}?奂[0,+∞),且■xn= +∞,■x′n=+∞,但■cosxn=■1=1,■cosx′n=■0=0,而1≠0,由归结原则知■cosx不存在. 2.3.2构造数列在积分定义上的应用 在数学分析中,对积分定义的探索过程也使用了构造数列这一方法.积分定义简述如下: 将f所在区间[a,b]分成n个小区间,记分割T={x0,x1,…,xn},Δi=[xi-1,xi],i=1, 2,…,n.Δxi=xi-xi-1(Δxi表示每个区间的长度),ζ∈Δi,i=1,2,…,n.则分割后每个小区间对应的面积表示为f(ζi)Δxi,i=1,2,…,n.然后令分割T的模T=■{Δxi}→0,得积分定义■f(x)dx=■■f(ζi)Δxi[1]. 以上定义中f(ζi)Δxi,i=1,2,…,n就为构造的函数列.构造数列的思想为积分的定义奠定了坚实的基础. 2.4构造对称 构造对称,就是要抓住在数学中很多问题都具有对称美的特点,充分地利用对称性或添加一些不与题设矛盾的条件,使之具有对称的且有利于问题解决的特点. 该方法在学习微积分时经常使用,掌握好它,在解题过程中有时能避开很多非常麻烦的计算. 例.计算曲面积分■(x2+z2)dS,其中S是球面x2+y2+z2=a2. 解:令f(x,y,z)=x2,g(x,y,z)=y2,(x,y,z)∈S.由于S关于平面x=y对称,且在对称点(x,y,z)与(y,x,z)∈S处有f(x,y,z)= g(y,x,z).因此■f(x,y,z)dS=■g(x,y,z)dS,即■x2dS=■y2dS,类似地,有■x2dS=■z2.由此可得■(y2+z2)dS=■■(x2+y2+z2)dS= ■a2■dS=■a2ΔS=■πa4. 评析:本题主要是观察到x,y,z之间具有很好的对称性.于是从整体出发,得到球的面积公式■dS,从而避开了很多复杂的积分计算. 数学分析中构造思想方法是很多的,不仅仅限于文中的这四种方法,但文中介绍的这四种方法在实际的解题中较为常见.我真心希望这篇文章能给读者带来点滴的启示和帮助. 作者单位:云南省广南县八宝镇中学校