摘 要:本文在学习过数项级数与无穷限广义积分的基础上,为了更深刻巩固我们所学过的基本内容,就相似结论给出了证明,以达到更清楚地认识数项级数与无穷限广义积分是平行理论的目的。
关键词:收敛 发散 数项级数 绝对收敛 条件收敛 无穷限广义积分
中图分类号:O172.2 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)05(c)-0215-01
1 (级数收敛的必要条件)若级数收敛,则
证明:设级数的部分和数列为,且,由于得。
(1)设为上的一致连续函数,并且积分收敛,则。如果仅仅积分收敛,以及在连续,,是否仍旧成立?
证明:(1)由于为上的一致连续函数,即任给,存在,任给,且时,又已知收敛,对,存在,任给,有。于是,当时,
,即。
(2)不成立。
参考图1,作函数,
则且连续,区间之长为,三角形的面积为,这些三角形面积之和构成一个收敛级数,于是时,
,故收敛.至此满足题设的全部条件,然而,因为。
(2)证明:若函数在有连续导函数,且无穷积分与都收敛,则。
证明:已知无穷积分收敛,即极限:
存在,也就是极限存在。
设,下面证明:,用反证法。假设,不妨设,即,由连续函数的保号性,有,从而,(当然),有(正常数),根据柯西收敛准则的否定叙述,发散,与已知条件矛盾,于是。
2 证明:若级数()收敛,则级数也收敛,倒过来不成立,举出例子
证明:由于级数收敛,故,于是,总存在,使当时,有,从而,当时,有.由于级数收敛,当然级数收敛,故级数收敛,从而也收敛。
反之不真,例如,,级数收敛,而级数却发散。
讨论,若积分收敛,的敛散情况。
解:先看下面几个积分的敛散情况。
(1)时,收敛,而且收敛。(2)时,收敛,但发散,由此我们说收敛,的敛散性须进一步判定。(3)证明,若级数及收敛,则级数,,也收敛。
证明:由于,且级数收敛,故级数收敛。
其次由于,且级数,及皆收敛,故知级数也收敛。
最后,设,利用第一个结果即证得级数收敛。
参考文献
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