摘 要:数列极限是线性代数中重要的部分,是学习线性代数的入门课程,也是难点内容.常见的求解数列极限的方法有很多,如定义法、夹逼定理、单调有界定理等.本文主要是从数学分析中总结相关方法,旨在给出一些求数列极限的特殊方法,并结合相关实例帮助读者理解.
关键词:数列极限;求解;特殊方法
1无穷小量*有界量
如果an为有界的,bn是无穷小量,则cn=an*bn,则■Cn=0.
例1:求■■的极限.
解:因为arctann∈(-■,■),■■=0,即■为无穷小量,所以■■=0.
2正项级数法
若无穷级数:■un收敛,则■un=0.
例2:证明■■=0,(a>1).
解:设un=■,则正项级数■un是收敛的,这是因为
■■=■■·■=■■=0,
故由上面知■■=0,(a>1).
3洛比达法则
例3:求数列极限■(1+■+■)n.
解:先求函数极限■(1+■+■)x.取对数后的极限为
■xln(1+■+■)=■■
=■■=■■=1.
注:这里读者要注意一点,不能在数列形式下直接使用洛比达法则.
4用级数展开式
例4:求极限■■.
解:我们先求函数极限■■,若用洛比达法则求的话,比较繁琐,在这里我们用泰勒展开式求解.
cosx=1-■+■+O(x■)e■=1-■+■+O(x■)cosx-e■=-■+O(x■),因而求得
■■=■■=-■.
然后,用归结原则,我们得到■■=-■.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册,第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001:229.
[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册 第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001:287.