【摘 要】本文介绍了解题中一个常用有效的方法—辅助函数解题法.通过微分学、无穷级数、方程根等方面问题的研讨,说明了辅助函数在高等数学解题中的重要作用.
【关键词】辅助函数;微分中值定理
引言
许多数学问题,表面看来与函数无关, 但若仔细观察,将会发现他们之间有着内在的联系,利用转化变换等思想,构造出合适的辅助函数,利用微分中值定理等来解决问题.通过对以下三个方面数学问题的探讨,进一步说明辅助函数在解题中的重要作用.
一、在求方程的根中的应用
(一)解方程
(二)求矩阵函数的特征根
二、在微分学中的应用
(一)结合微分中值定理证明等式及不等式
引理1(罗尔(Rolle)中值定理)若函数满足如下条件:
(ⅰ)在闭区间上连续,
(ⅱ)在开区间内可导,
(ⅲ),
则在内至少存在一点,使得.
引理2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足如下条件:
(ⅰ)在闭区间上连续,
(ⅱ)在开区间内可导,
则在内至少存在一点,使得
现利用上面两个定理证明下面两例题:
例3:设在上可微,证明:存在使成立
.
证明:设辅助函数
则在上连续,在上可导,
又,故由Rolle定理知存在,使.
即,
故命题得证.
例4:证明不等式 .
分析:观察不等式,发现中间部分正好是对数,左端是分式(右端也可以看成是分式),而对数的导数正好是分式,因而不难想到借助拉格朗日定理来证明.
二)论证方程根的存在性
三、在无穷级数中的应用
(一)求和式的极限
(二)求级数的和
它的思想是构造相对应的函数项级数,结合微分法或积分法, 从而求出原级数的和.
三、结束语
通过引入辅助函数还可解决其他的数学问题.辅助函数法是解题中的一个常用有效的方法,在我们解决各类数学问题时,可通过观察,大胆猜测、推理,利用转化思想,构造出合适的辅助函数,直接或间接利用函数的性质来解决问题,从而达到事半功倍的效果.
参考文献:
[1]盛光进.试析辅助函数在解题中的作用[J].锦州师范学院学报,2003,24(2).
[2]华东师范大学数学系.数学分析(第2版)[M].北京:高等教育出版社,1991.
[3]谢惠民等.数学分析习题课讲义[M].北京:高等教育出版社,2004.
致谢:
本文是在臧庆佩老师的悉心指导下完成的,值此论文完成之际,向臧老师致以最诚挚的谢意!