摘 要 本文首先对广义非线性最小二乘迭代算法的研究现状进行分析,随后基于广义非线性最小二乘迭代算法对多维多时态多精度数据处理问题进行研究,期望能够对数据处理问题的优化有所帮助。
【关键词】非线性最小二乘 迭代算法 数据处理
1 广义非线性最小二乘迭代算法的研究现状分析
在近些年里,一些专家学者对非线性最小二乘的求解算法进行深入具体的研究,在诸多求解算法中,迭代算法是最为实用的一种方法,也是目前应用较多的方法之一。对于迭代算法而言,牛顿法是其中比较重要的一种方法,很多相关的算法都是由此演变而来的,下面就此进行详细介绍:
(1)牛顿迭代法。通常情况下,部分非线性模型具有较高的非线性强度,就这种模型而言,线性近似可能会产生出相对较大的模型误差,尤其是在实际应用中,该误差极有可能超过观测允许误差,从而造成观测结果精确度偏差的问题。此时,便可以采用牛顿迭代法来解决这一问题,该方法的迭代公式如下:
上式便是牛顿迭代算法最为基本的公式,下面介绍的高斯牛顿算法就是在该公式的基础上进行改进后获得的。
(2)高斯牛顿算法。与传统的牛顿迭代算法相比,高斯牛顿算法具有构造简单、解算精度高等特点,正是因为该算法所具备的这些优点,使其被在数据测量及处理领域当中获得了非常广泛的应用。由于该算法是在牛顿迭代算法的基础上获得的,所以它的基本思想与牛顿算法基本相同,该方法具体是将二阶偏导数Hessian矩阵进行分解,由此可以获得一个高斯牛顿矩阵以及一个非线性二阶项,可用下式表示:
(2)如果实际应用中所构建的非线性模型的残差相对较大,那么可以通过相关的算法获取的近似矩阵;若是残差比较小时,则可以近似取零,在这一前提下,其迭代表达式为:
从目前的应用效果上看,高斯牛顿算法是比较经典的一种迭代算法,这是因为它将非线性最小二乘的求解问题转化为迭代求解。在具体应用中,该算法有效克服了非线性模型误差较大的问题,并且其又与最小二乘十分接近。所以,该算法在平差的测量当中获得了广泛应用。然而,在大量的实际应用中发现,该算法对初始值的要求相对较高,若是选取的初始值与真实值偏离较大,则会导致该算法中的矩阵出现秩亏的现象,由此会造成算法失效,甚至会使算法无法完成。因此,业界的专家学者针对这一问题进行了大量研究,并对该算法进行了优化改进。
(3)改进后的高斯牛顿算法。通过上文分析可知,高斯牛顿算法对于初始值的依赖性相对较强,为了解决这一问题,一些专家学者提出了可在计算过程中引入步长因子,并以三点抛物线的方法进行近似计算,由此获得了改进的高斯牛顿法,该算法的迭代公式为:
改进之后高斯牛顿算法进一步降低了对初始值的依赖性,有效避免了迭代过程的波动性变化,大量的实践也证明了该方法的可行性。
2 基于广义非线性最小二乘迭代算法的多维多时态多精度数据处理
在“数字城市”等科学工程的研究过程中,常常会遇到大量的数据处理问题,其中数据普遍存在多维、多时态和多精度等特征。在科学技术水平不断提高的今天,测量技术手段层出不穷,这在一定程度上提高了数据测量效率。在具体的数据测量过程中,为了获得更加准确的数据结果,并进一步提高数据的精确度,常常会采用多种观测手段采集多维、多时态、多精度的数据,在这一前提下,使得数据处理的函数模型中除了包含一部分非随机参数之外,还包含部分随机参数,而这些随机参数普遍具有动态的特点,如果采用经典的最小二乘或是一般非线性最小二乘对数据进行处理,则很难获得满意的结果。鉴于此,本文基于广义非线性最小二乘迭代算法构建起了一个非线性动态函数模型,并采用改进的高斯牛顿算法进行求解,以此为基础对多维、多时态、多精度的数据处理问题进行研究。
(1)模型构建。对于某一个控制网而言,常常会采用多种观测手段采集数据,由于采集过程中使用的测量方法较多,从而导致了数据的来源均不相同,并且数据的类型和精度也不相同,甚至有些数据会随着时间或是空间位置发生变化,即动态数据,而这些数据之间并不存在相关性,鉴于此,可以设非随机参数,而随机参数,由此可以获得其观测数据:
通过几何观测数据与参数之间的关系可以推导出:
再由随机参数观测值与随机参数之间的关系可推导出:
在式(5)当中,代表各个分量全部为1的m维列向量;则代表矩阵的Kroneck积。由此便可以构建出广义非线性函数模型:
假定控制网当中的观测数据的权矩阵为,观测数据的权矩阵为,按照最小二乘理论可获得多维、多时态、多精度数据的广义非线性动态最小二乘模型:
(2)求解方法。通常情况下,当非随机参数以及随机参数个数大于1个时,求解的过程会变得比较复杂,也可将其视作为大规模最优化的问题。为了使整个过程得以简化,在实际求解的过程中,可以考虑采用存储量相对较小的求解算法。具体而言,可将分解算法的思想与改进的高斯牛顿算法结合到一起,建立一个适合大规模最小二乘问题求解的迭代算法,其步骤如下:
Step1:给定初始点以及,k=1;
Step2:若是时,则可停止迭代,并输出最优解(),否则可以转为Step3;
Step3:若是k=1,则可取,若k≠1,则可取;
Step4:如果<,则,否则作精确线性搜索确定步长,并令;
Step5:若是<,则,否则作精确线性搜索确定步长,并令,然后转Step2。
3 结论
综上所述,本文在借鉴大量前人研究成果的基础上,针对多维、多时态、多精度的数据处理,提出了非线性最小二乘函数模型,并给出了简化后的求解算法。实践证明,本文提出的这种算法能够进一步减少求解过程的计算量,具有一定的推广应用价值。
参考文献
[1]唐利民.朱建军.非线性最小二乘问题数值迭代法的统一模型及其不适定性[J].长沙交通学院学报,2008(3).
[2]王宇平.宋国乡.广义非线性最小二乘问题的两个新方法[J].计算数学,2009(7).
作者单位
重庆邮电大学移通学院 重庆市 401147