学生类比已有的数学分析中的知识,做到融会贯通,更需要学生新增知识,重点把握.本部分将从复变函数f(z)的解析性,柯西积分定理,柯西积分公式三个方面论述.
1.f(z)的解析性
解析函数是复变函数研究的主要对象,它具有很多很好的性质如:无穷可微性.
(1)复变函数ω=f(z)在z0∈D处解析是指f(z)在点z0处可微,并且在该点的邻域内每一点均可微;而w=f(z)在D上解析是指在D内的每一点都可微,从而就会出现f(z)只在一个孤立点或只在一条直线上可微,但是各点都未形成由可微点构成的圆邻域,导致f(z)在D上不解析.
(2)解析函数的无穷可微性
函数f(z)在z平面上的区域D内解析,则f(z)在D内具有各阶导数,并且它们也在D内解析.我们要注意:在数学分析中,区间上的可微函数在此区间上不一定有二阶导数,更不必谈高阶导数.
2.柯西积分定理
对于柯西积分定理,学生须知该定理肯定了复变函数积分的值与积分路径无关的条件(沿区域内任何闭曲线积分值为0的条件)是与被积函数的解析性及解析区域单连通性有关.
即函数f(z)在单连通区域D内解析,C为D内任一条简单闭曲线,则∫Cf(z)dz=0.
由于柯西积分定理的全部理论是建立在两个假设之上的:(1)所考虑的区域D是单连通区域,
(2)f(z)在D内为解析函数,所以如果两个条件有一个不具备,一般来说定理结论不再成立.所以若在区域D内有函数f(z)的奇点,就要将这些点从D内除去,从而把多连通区域变为复连通区域,此时沿复周线外边界积分等于沿内边界积分之和.