[摘要]实变函数论是大学数学专业当中公认的一门比较难的课程。勒贝格对旧的积分理论的改进是从改变计算定积分的程序所需步骤展开的,正是从这一思想出发,才使得他成功推广了黎曼积分。勒贝格积分思想形成的线索可以作为实变函数论这门课程教学的突破点,通过对比黎曼积分的优缺点探讨勒贝格积分的中心思想,可以让学生深刻理解勒贝格积分的框架与含义,这对实变函数论的教与学都有帮助。
[关键词]勒贝格积分;黎曼积分;大学数学
[中图分类号]G642[文献标识码]A[文章编号]2095-3712(2015)04-0043-02[基金项目]本文受广西教育厅教改项目“与高中数学课改相适应的高师数学教育核心课程体系及教学模式的创新与实践”(2013JGZ113)的资助。
[作者简介]黄荣里(1979—),广东开平人,博士,广西师范大学数学科学学院副教授。
一、引言
勒贝格积分是以法国数学家亨利·勒贝格命名的,他于1904年引入了这个积分定义。他在1902年发表了博士论文《积分、长度、面积》,在这篇文章中,勒贝格创立了全新的积分理论。18世纪末,数学分析(主要内容是微分论和积分论)进入严格论证阶段。1854年,黎曼引入了定积分的严格定义,这一理论的应用范围主要是最多有有限个间断点的连续函数,这成为现在大学生学习微积分初步的主要内容之一。当时,人们相信绝大部分的函数都是连续的。但是德国数学家魏尔斯特拉斯和康托尔构造了许多“奇怪”的函数,使得黎曼所定义的积分对这类函数而言,具有较大的局限性。与此同时,人们希望通过改造积分理论克服黎曼积分的局限性。当时,关于积分论的工作主要集中在对无穷集合性质的研究探讨,特别是探讨如何计算无穷集合的所谓长度、面积、体积等几何量。定积分的几何意义是闭曲线所围成区域的面积,勒贝格之前的积分定义是基于对区间长度的分割形成的。因此,人们需要考虑到怎样把长度、面积、体积等概念推广到更一般的集合类上,也就是说要计算一大类无穷点集的所谓“容积”(这就是后来测度的最初的定义),从而把定积分的定义放在点集合测度理论的框架之中考虑。勒贝格积分正是建立在勒贝格可测集的基础上的,它推广了黎曼积分。对现代数学而言,勒贝格积分和黎曼积分如同广义相对论与牛顿力学的关系。
二、实变函数课程教学的探讨
虽然我们完全可以从古老的长度或者面积问题开始逐步推导出勒贝格测度概念,但如果在课程的开始不简单阐述一下勒贝格积分的思想,学生对为什么要定义勒贝格测度还是会感到不明白。因此,一般在正式讲授实变函数之前,教师应先介绍各种积分理论的来龙去脉。
已经学过数学分析的学生都非常清楚,微积分不仅是数学史上的一次革命,也让很多过去令人望而生畏的问题变得异常简单。比如,在微积分产生之前,除了矩形、圆形的面积问题,一般的弯曲图形面积问题对于人们来说都是只敢欣赏不敢触碰的问题。但是,微积分的缺陷也是明显的,一个最突出的缺陷是,黎曼积分关于极限运算不是封闭的,积分号下求极限需要函数满足非常强的条件,比如一致收敛等。这就好比有理数不完备使得很多问题在有理数范围内无解一样,黎曼积分存在这个问题。如果要举一个黎曼不可积函数的例子,一般学生都会想到Dirichlet函数,这是一个极其“不正常”的函数——处处不连续,很容易验证它黎曼不可积。退一步讲,即使一个可积函数序列的极限依然是个可积函数,也未必能保证积分与极限可以交换顺序。积分与极限交换顺序的问题无论从理论还是应用的角度都是十分重要的,只要想用数值方法进行近似计算,就不可避免地会涉及这个问题。有时候为了验证积分与极限的交换性,需要耗费大量的精力去限制被积函数的条件。那种认为工科学生只需要知道如何计算的观点是绝对错误的,数学思想对于任何需要使用数学的人都是至关重要的。
黎曼积分为什么会出现那么多致命的缺陷?不把这个问题搞清楚,我们就无法理解勒贝格为什么要另一种特殊的方法定义新型的积分。先来看看黎曼积分的定义,我们希望能从定义出发计算定积分的过程中可以找出问题所在。
定义:设y=f(x)是有限闭区间[a,b]上的单元函数,如果存在某个有限常数C,使得对闭区间[a,b]的任一划分Δ:a=x0 ∑i=0n-1f(ξi)(xi+1-xi)→C,① 那么我们称f在[a,b]上黎曼可积,而常数C称为f在[a,b]上的定积分。 从上述极限过程可以看出,如果f(x)在[a,b]上可积,则对[a,b]内任一充分小的邻域,f(x)在这个邻域中的振幅不能太大,否则①式中的极限有可能会不存在。由此看来,①式对函数有些特定的限制,即函数在任意小的领域振幅的大小有要求,对这一观察的科学定义是函数要求“基本上”是连续的,这已为勒贝格证明。这说明,问题源于早期定积分的定义本身。如果要使事情得以解决,就必须摆脱黎曼积分的定义中计算定积分的局限,这也是勒贝格创立他的新积分理论的思想来源。和黎曼积分不一样的是,勒贝格积分并没有先分割函数的定义域进而求和,而是把计算顺序稍微交换了一下,转而先分割函数的值域进而求和,从而保证了函数的振幅满足要求。以闭区间[a,b]上的有界函数y=f(x)为例,假设m≤f(x)≤M,对[m,M]作任意划分:c0 S(f)=Σi=0n-1ξi|Ei|,ci<ξici+1② 当振幅Supi(ci+1-ci)→0时,和式S(f)是否存在极限?它的极限是什么?通过积分的几何意义知道,如果f是区间上的最多有有限个间断点的连续函数,此时S(f)的极限等于f的黎曼积分(从曲边梯形面积的一致性可以看出)。换言之,用上述方法分割求和相对于连续函数来说与黎曼积分是一样的。而且,上述新定义让一大类黎曼不可积的所谓“病态函数”,在勒贝格积分框架下依然成立。总的来说,对一般的集合Ei建立“长度”概念至关重要,这正是“测度”概念的由来。有例子可以表明有些集合是不可测的,那么哪类函数f使得Ei可测?有怎样特征的f使得②式有极限?于是“可测函数”“可积函数”等新的数学分析概念被引出来,形成了著名的勒贝格积分理论。 三、结语 实变函数是数学专业重要的一门专业必修课,要学好不容易,没有所谓的捷径可走。唯有牢牢把握勒贝格发明以他名字命名的勒贝格积分的思想来源,反复看书,多做习题,才能在这门课上学有所成。 参考文献: [1]周民强.实变函数论[M].北京:北京大学出版社,2004. [2]程其襄.实变函数与泛函分析基础[M].3版.北京:高等教育出版社,2010.