【摘要】本文以实例为依托,利用微积分的知识对数值不等式,积分不等式,估值不等式等不等式证明的思想方法进行了归纳和总结,希望对该类问题的研究提供参考.
【关键词】微分;积分;不等式
1 利用函数的单调性证明不等式
定理 设 在区间 上可导,则 在 上递增(减)的充要条件是
( ).
例1.1 证明:当1时,.
证明令 ,
,可知 在 时单调递增,
故 ,所以 在 上是单调递增的,又得 ,即 证得当 时,
例1.2 证明:已知 都为正整数,且 ,证明 :.
证明设,则 ,
因为 ,所以 ,,所以 ,
故 在 上时减函数,即 ,
所以 ,故原不等式成立.
例1.3 设实数 满足 求证:.
证明构造函数 ,
因为 所以 ,
故 为关于变数 的一次函数,且 在 上为单调减函数.
而 ,由 知 .
当 时,有 ,故由题设条件下得 .
说明:利用函数的单调性证明不等式是一种经常用的方法,在利用此法证明不等式时,一般取不等式两边的函数之差为新函数 或者根据所要证的不等式构造合适的函数,然后讨论 的单调性.
2 利用微分中值定理证明不等式
拉格朗日中值定理如果函数 满足下列条件:在闭区间 上连续;在开区间 内可导;那么,在 内至少有一点 ,使得 .
例2.1 若 及 则
证明令函数
在 上连续,在内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,故有
其中
由于 有 于是
注:一般地,若要证明的函数不等式或数值不等式含有增量 ,或者可以生成增量 (或增量的商 ),则可考虑借助于拉格朗日中值定理或柯西中值定理,证明的关键是函数和区间的选取.
3 利用函数的极(最)值证明不等式
要证明 只要求函数 的极值,证明 这是证明不等式的基本函数.
例3.1 证明:
证明令 =
则,令 0,得 .
因 知 ,故最小值为,最大值为 .
所以,.
注:当给定的不等式是具体的函数,且又给出自变量的变化范围,如本例,欲证明它大于等于或小于等于某个定数,往往用该方法证明比较简单.
例3.2 当 时,求证:
证明令 =
则对
,,,
且有 , 从而 在 处取得极小值,
也即是 在区间 得最小值,且 =0,
于是 ,有,所以,.
说明:当辅助函数 在区间 内部不具有单调性,但 仅有一个零点时,可考虑用此方法证明不等式,其证题的基本思路与利用函数的单调性证明不等式基本相同,只是在导出不等式时,不是根据函数的单调性,而是根据函数的极值或最值.
4 利用导数定义证明不等式
例4.1 设函数 ,其中 都为实数,为正整数,已知对于一切实数 ,有 ,试证 .
分析问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出:.于是问题可以转化为证明
证明因,则 =
利用导数的定义得
由于 ,所以 即 .
说明:用导数定义证明不等式,此方法适用范围不广,解题时应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此了利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的.
5 利用定积分的性质证明不等式
推论 设函数 与 为定义在 上的两个可积函数,若 ,则 .
例5.1 证明:时,
证已知 ( 只有 时等号才成立).
在此式两端同时取 上的积分,得
再次取 上的积分,得
第三次取 上的积分,得
即 ,继续在 上积分两次,可得
证毕.
注:该例是用积分法证明,对偶地还可用微分法证明.
6 利用积分几何证明不等式
例6 设 时,证明不等式
分析此题可以与定积分的“以直代曲”的“近似代替”的思想联系起来,加上积分的几何意义使得不等式的证明变得更加简单.
证明 ,
通过作图可知 不超过 和的和
即
参考文献:
【1】华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.
【2】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1994.
【3】刘玉莲.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.