【摘 要】本文提出了一类被积函数乘积因子可变号的推广的积分第一中值定理。
【关键词】积分第一中值定理;原函数;可变号
数学分析教材中,常见的推广的积分第一中值定理是被积函数乘积因子g(x)不变号的推广的积分第一中值定理的形式,即:
推广的积分第一中值定理:若f与g都在[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则至少存在一点ξ∈[a,b],使得:
■f(x)g(x)dx=f(ξ)■g(x)dx.
下面,本文提出了一种g(x)在(a,b)无零点的可变号的推广的积分第一中值定理。
定理:设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且有原函数,g(x)≠0(a ■f(x)g(x)dx=f(ξ)■g(x)dx. 定理证明所需引理 引理1[1]:设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上有界且有原函数,则f(x)g(x)在[a,b]上有原函数. 引理2[1]:设f(x)在[a,b]上可积,且在[a,b]上有原函数F(x),则: ■f(x)dx=F(b)-F(a) 引理3[1]:设f(x)在[a,b]上可积,且在[a,b]上有原函数,则■f(t)dt (x∈[a,b])为f(x)在[a,b]上的一个原函数。 证明 设F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则由引理2可得 ■f(x)dx=F(x)-F(a),x∈[a,b] 从而: (■f(x)dx)′=F′(x)=f(x),x∈[a,b] 即■f(t)dt (x∈[a,b])为f(x)在[a,b]上的一个原函数。 定理的证明 g(x)在[a,b]上可积,从而g(x)在[a,b]上有界。由引理1得, f(x)g(x)在[a,b]上有原函数。又f(x)g(x)在[a,b]可积,由引理3知, F(x) =■f(t)g(t)dt为 f(x)g(x)在[a,b]上的一个原函数。G(x)=■g(t)dt为g(x)在[a,b]上的一个原函数。从而 F(x),G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又因为G′(x)=g(x)≠0(a ■=■ 即: ■=■=f(ξ) 也即: ■f(x)g(x)dx=f(ξ)■g(x)dx 【参考文献】 [1]周民强数学分析(第二册)[M].上海:上海科学技术出版社,2003. [2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001. [责任编辑:丁艳]