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摘要:为了丰富三维混沌系统的定性与分支理论,以具有三重零奇异平衡点的二次截断规范型系统为研究对象,研究了此系统在不同参数条件下的平衡点的存在性及其附近的稳定性与分支问题。使用数学分析的方法讨论了在不同参数条件下,平衡点所对应的特征方程实根的存在性,从而得到平衡点处丰富的局部流形情况,引出系统可能会产生的分支情形。利用卡尔丹诺公式仔细分析了平衡点为鞍焦点的参数条件,分析了产生一维Hopf分支的参数条件,通过计算得到超临界Hopf分支与亚临界Hopf分支的前提条件,结果表明系统具有丰富的稳定性与分支情况,可为以后证明产生连接鞍焦点的同宿环或异宿环的存在性和产生Silnikov型混沌证明提供理论前提。研究方法可推廣到对其他高维非线性系统的研究。
关键词:定性理论;鞍焦点;Hopf分支;超临界;亚临界
中图分类号:O175.12MSC(2010)主题分类:16S40文献标志码:A
收稿日期:20171225;修回日期:20180303;责任编辑:张军
基金项目:国家自然科学基金(11401541);山西省自然科学基金(2015011009)
第一作者简介:王永文(1980—),男,山西繁峙人,硕士研究生,主要从事生物数学方面的研究。
通信作者:薛亚奎教授。Email:ykxue@nuc.edu.cn
王永文,乔志琴,薛亚奎.一类三维系统的分支分析[J].河北科技大学学报,2018,39(2):135141.
WANG Yongwen,QIAO Zhiqin,XUE Yakui. Bifurcation analysis of a three dimensional system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2018,39(2):135141.Bifurcation analysis of a three dimensional system
WANG Yongwen,QIAO Zhiqin,XUE Yakui
(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051, China)
Abstract: In order to eich the stability and bifurcation theory of the three dimensional chaotic systems, taking a quadratic truncate unfolding system with the triple singularity equilibrium as the research subject, the existence of the equilibrium, the stability and the bifurcation of the system near the equilibrium under different parametric conditions are studied. Using the method of mathematical analysis, the existence of the real roots of the corresponding characteristic equation under the different parametric conditions is analyzed, and the local manifolds of the equilibrium are gotten, then the possible bifurcations are guessed. The parametric conditions under which the equilibrium is saddlefocus are analyzed carefully by the Cardan formula. Moreover, the conditions of codimensionone Hopf bifucation and the prerequisites of the supercritical and subcritical Hopf bifurcation are found by computation. The results show that the system has abundant stability and bifurcation, and can also supply theorical support for the proof of the existence of the homoclinic or heteroclinic loop connecting saddlefocus and the Silnikov"s chaos. This method can be extended to study the other higher nonlinear systems.
Keywords:stability theory; saddlefocus; Hopf bifurcation; supercritical; subcritical
随着洛仑兹系统的发现,许多学者致力于研究各种非线性系统现象,其中包含广义的Lorenz系统[1],吕系统[23],陈系统[4],Genesio系统[5],Chua系统[6]等。除了利用李雅普诺夫指数证明一类系统具有混沌之外,更多学者利用Silnikov条件去构造自治系统出现混沌,陈关荣等[1]根据Silnikov准则构造了同时具有洛仑兹吸引子和陈吸引子的吕系统。ZHOU等[5]在Genesio系统里找到一条Silnikov形式的同宿轨,得到Genesio系统里存在马蹄混沌结论。河北科技大学学报2018年第2期王永文,等:一类三维系统的分支分析ZHOU等[7]构造了一类新的简单的具有连接鞍焦点的同宿轨的三维二次混沌系统。王炜等[8]对改进的PID控制系统求出具有Silnikov形式的同宿轨的解析表达式,从而说明具有混沌现象的发生。其他学者[918]也对不同的系统做了相应的分析。本研究主要在FRIEIRE等[19]讨论三重零线性退化的标准型开折的基础上,讨论以下一类三维自治系统:1=x2,2=x3,3=ax1+b2x2+cx3+A1x1x3+A2x1x2- x212 (1)的分支情况,其中a,b,c,A1,A2为参数,此系统比Genesio系统[5]更一般化。
若对系统(1)做变换x1→x1+a,x2→x2,x3→x3,那么系统(1)可简化为1=x22=x33=a22+(b+aA2)x2+(c+aA1)x3+A1x1x3+A2x1x2-x212,FRIEIRE等[19]主要研究了形如以上系统的三次截断,当考虑参数为a,b,c时平衡点处的余维2的分支。本文第1节主要研究系统(1)的平衡点的存在性以及局部稳定性,第2节主要分析平衡点为系统(1)鞍焦点的参数条件,最后讨论系统(1)产生Hopf分支的条件以及此分支为超临界和亚临界的参数条件。
1平衡点处的局部定性分析
顯然,当a=0时,系统(1)仅有一个平衡点E1(0,0,0),而当a≠0时,系统(1)有2个平衡点E1(0,0,0)和E2(2a,0,0),且此系统在平衡点E1和E2处的线性雅可比矩阵分别为D1=010001 abc 与 D2=010001 -ab+2aA2c+2aA1 ,其对应的特征方程分别为det(λ1I-D1)=λ31-cλ21-bλ1-a=0(2)与det(λ2I-D2)=λ32-(c+2aA1)λ22-(b+2aA2)λ2+a=0。(3)特征方程(3)与方程(2)类似,因此笔者仅分析特征方程(2),利用数学分析的方法判断特征方程左边函数单调性以及凹凸性,然后分析与横轴交点的情况,得到在各系数a,b,c不同条件下方程(2)的根的情况(若是重根,按重根个数算)以及E1局部流形的详细分析,并且由赫尔维兹判据可判断出,方程(2)的3个根均为负实根(其中必有1个负实根)的充要条件为a<0,c<0,bc+a>0,此时E1局部渐近稳定,如表1所示。对于特征方程(3)的根及E2处的局部形态可对照系数做相应的分析,此处不再赘述。
从表1可以看出:
a)当a=b=c=0时,平衡点E1处产生了三重零特征根线性退化;
b)当c≠0,a=b=0时,平衡点E1处产生了二重零特征根线性退化,FRIEIRE等[19]研究结果显示参数a=b=0时,系统(1)可产生BT分支;
c)当b<0,a=c=0时,平衡点E1处产生了一重零特征根和一对共轭的纯虚根退化情形;且当b<0,A1≠0,A2≠0时,FRIEIRE等[19]证明当a=c=0时,系统(1)可产生Hopfzero分支。表1E1的局部分析
Tab.1Local analysis of E1
abc特征方程(2)根的情况 E1的局部特性=0=0=03个零根三维Wcloc >02个零根与1个正实根二维Wcloc与一维Wuloc <02个零根与1个负实根二维Wcloc与一维Wsloc >0任意1个零根、1个正实根与1个负实根一维Wcloc 、 一维Wsloc与1维Wuloc <0 =01个零根与2个共轭纯虚根三维Wcloc >01个零根与2个正实根/正实部复根一维Wcloc与二维Wuloc <01个零根与2个相同负实根/负实部复根一维Wcloc与二维Wuloc>0=0=01个正实根与2个负实部复根一维Wuloc与二维Wsloc >01个正实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0 <04c3+27a≤0时1个正实根与2个负实根一维Wuloc与二维Wsloc4c3+27a>0时1个正实根与2个复根见第2节讨论 Δ1>0>0=04b3-27a2≥0时1个正实根与2个负实根一维Wuloc与二维 Wsloc 4b3-27a2<0时1个正实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0 <0=01个正实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0<0=0=01个负实根与2个正实部复根一维Wsloc与二维Wuloc
>04c3+27a≥0时1个负实根与2个正实根一维Wsloc与二维 Wuloc 4c3+27a<0时1个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0 <01个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0 >0=04b3-27a2≥0 时1个负实根与2个正实根一维Wsloc与二维Wuloc 4c3+27a<0时1个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0 <0=01个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0 <0bc+a>0时根据赫尔维兹判据知1个负实根与2个负实部特征根三维Wsloc
2鞍焦点存在性
定理4在a≠0,b+2aA2<0情况下,系统(1)在c=ch时E2处产生Hopf分支,并且当l21<0时,系统(1)在平衡点E2附近产生超临界Hopf分支;当l21>0时,系统(1)在平衡点E2附近产生亚临界Hopf分支。
4结语
为了研究一类具有三重零奇异的三维微分方程的二次截断开折系统所产生的分支情况,首先分析此类系统平衡点的存在以及局部特征根实部的具体情况,特别关注了平衡点为鞍焦点的参数条件,最后分析了平衡点附近产生Hopf分支的条件,并分别指出超临界和亚临界Hopf分支参数条件。本研究的结果为以后证明此系统存在Shilnikov型混沌提供了理论依据。
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2018年4月Journal of Hebei University of Science and TechnologyApr. 2018