摘 要:利用Jacobi椭圆函数展开法求解mKdv方程的冲击波解,在科学计算与模拟平台上作出了其图像,并且还作出了mKdv方程在分离变量法下的呼吸子解图像,通过图像展示了它的一些性质。
关键词:mKdv方程 科学计算平台 冲击波 呼吸子 图像
中图分类号:O4-39文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)10(c)-0161-02
Images to the solution of mKdv equation
QIAN Ting;ZHENG Zao-song;HU Ya-ying
(South China Normal University,School of Physics and Telecommunication Engineering,Guangzhou 510006,China)
Abstract:Employed the expansion method of Jacobi elliptic function,I worked out the Shock Wave of mKdv equations and mapped out the image of it on the platform of scientific computing and simulation.Also I worked out the image of breath sub-solution when mKdv equations were analyzed through separating variables.Through those images,some of its features are displayed.
mKdv方程也称变形的Kdv[1]方程,它是用摄动法或级数展开法求解较复杂的非线性演化方程时高阶近似所满足的方程,多应用于非线性光学,描述大气的波动,及量子力学中,利用Jacobi椭圆函数的展开法适用于多种非线性波动方程的求解,例如非线性Kleln-Gordon方程,Boussinesq方程。虽然在很多书上有涉及到Kdv方程的求解,但过于繁杂,不适合低年级的学生推导及理解。同时,随着计算机技术的不断发展,利用计算机作图直观的展示一些特殊函数或非线性方程的解在教学中变的越来越重要,也就是当今正发展的数字教学培养模式。文献[2]展示了Mathieu函数的图像及以其为基础的许多问题的图像;文献[3]用函数直观的表现KP方程和一种新的NPDE孤立子纠缠;文献[3]用推广的Jacobi椭圆函数展开法解NLS方程,并作出了部分图像。
1 mKdv方程演化解图像
1.1 冲击波解
对于mKdv方程:
(1)
(2)
有下列形式的解:
(3)
(4)
将(4)式代入(2)式有:
得: (5)
代入(3)式得 (6)
上式就是mKdv方程(1)的准确周期解。当m=1时,(6)可化为
(7)
上式就是mKdv方程的冲击波解。
当t从0时刻不断增加时,计算机作图显示冲击波将保持原状向右传播。
1.2 呼吸子解
mKdv方程是非线性的频散方程,经变换可化为如下形式:
(8)
设 (9)
则方程可化为:
(10)
令 (11)
再将方程的解设成分力变量的形式: (12)
可得:
(13)
可得(8)式的一个呼吸子解为:
(14)
其中为任何常数。
mKdv方程的呼吸子解的性质可以由图1图2现出来,图1是在的情况下绘出的三维图及位相,显示了波局限在一定的时空区域内。图2是在相同条件下给出了波形随时间的演化图,近似表示了一个时间周期中的波形变化,像呼吸一样,表现出呼吸子的特征。
位相图也显示了呼吸子解随着时间位移的变化,相位发生周期性的改变,如同一个波,初始条件的限制下,在某个局限的时空区域内传播。下图为呼吸子解在一个周期内的二维图像:
从图3可以知道一个周期大约为3.1s,显示了一个周期内不同时刻的波形。不难看出,在任何时刻都保持近似孤立子的形状并且沿着x轴向右传播,它在x轴的上方和下方不断变化,形似呼吸。
2 结语
本文把参考文献[1]对Kdv方程求解的方法进行扩展,并求解出mKdv方程的冲击波解,该扩展还可用于解答多种非线性方程。通过对mKdv方程进行一系列变换求得了它的呼吸子解,借用计算机模拟平台,画出呼吸子解的二维图像并求解出该解的周期。同时,通过该平台,可视化地展现了呼吸子解的三维图像,动态地将复杂的非线性方程直观的表现出来,相比起静态的三维图像更有利于反映解的一些性质。这有助于对方程的理解和物理实际问题中的应用。同时使用该计算机编程还可绘出许多物理图像,比如针尖电场图像,氢原子电子云运动图像等等,将许多抽象的解答用图像表现出来,帮助学生理解其意义。
参考文献
[1]郑强,岳萍,龚伦训.Jacobi椭圆函数展开解的可视化.物理学报,2005,54(07):2996-04
[2]Gutierez-Vega J C et al 2003 Am .J.phys.71 233
[3]Zhang J F et al 2004 Commun. Theor.Phys.41 7
[4]沙琳,钟鹏.mKdv方程的呼吸孤立子解.1003-1251(2006)02-0089-03
[5]李元杰.数学物理方程与特殊函数[M].北京:高等教育出版社,2009:190.