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【摘要】对一类分数阶微分方程的Lyapunov型不等式给出了一个新的简短证明,并将其应用在Mittag-Leffler方程中,并得到推论:对一类Mittag-Leffler方程,该分数阶微分方程在一已知确定区间上实零点不存在。
【关键词】Lyapunov型不等式;分数阶Mittag-Leffler微分方程;Bernoulli不等式
中图分类号:0175.2
文献标识码:A
文章编号:1000-5617(2015)01-0018-04
引言
文献[1]研究了分数阶微分方程的Lya-punov型不等式,然后,其证明中起关键性作用的引理2的证明十分冗长繁杂,不利于该不等式的推广与应用。该文的创新之处在于,使用了更加简便的方法证明了引理2,得到十分关键的结论,并将其应用在Mittag-Leffler微分方程中。
前人工作
随着科学的发展,分数阶微积分在控制系统、光学系统、信号处理、粘弹性力学等领域都得到了广泛的应用,Mittag-Leffler函数是其中一类基本的函数,在分数阶微积分理论中起到了很重要的作用,郑晶晶讨论了一类双参数Mittag-Leffler函数在无穷时间序列下的Lp稳定性;刘丽琼研究了多时滞分数阶微分方程解的存在唯一性问题;陈立平根据Mittag-Leffler函数,通过对系统解的解析式进行估计,给出了若干个判断分数阶非线性系统局部渐近稳定与全局渐近稳定的充分条件;童评运用Mittag-Leffler函数给出了一种新的求解分数阶微分方程近似解的方法.而对于这种非线性模型,通常避免直接去求该方程,取而代之的是,通常使用Lyapunov第二方法来对非线性系统的稳定性进行研究——Lyapunov第二方法是证明非线性系统稳定性的充分条件。张隆阁等利用分数维微积分推广了Lyapunov第二方法;许喆等基于Lyapunov方程实现了对分数阶新混沌系统的控制;刘春美对Lyapunov方法在具体系统下的有关稳定性的结论进行了总结;胡建兵等提出了基于Lyaponov方程的系统稳定性判定理论并将该理论应用于分数阶混沌系统的同步,实现了未知参数的分数阶Lorenz混沌系统的自适应同步;张启明则推广并建立了一些离散Hamilton系统的Lyaponov型不等式并作为应用。
预备知识与基本概念
为了后文的开展,我们先对Riemann-Liouville方程分数阶积分及Caputo方程分数阶导数做一个简单介绍。的连续实函数。定义Riemann-Liouville方程的任意α阶积分为:
定义2 对任意α≥0,Caputo方程的任意α阶导数定义为:此时m代表大于等于α的最小整数。
下面将对Lyaounov定理进行推广并得到一些结论。
如果边界条件存在非平凡解,那么对于任意连续实函数q,有:存在连续的非平凡解,那么对于任意连续实函数q,有:
随后,将展示如何使用不等式(4)证明一个确定的Mittag-Leffler方程在确定的区间内不存在实零点。
主要结论与证明