摘要:极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。极限论是数学分析的基础,极限问题是数学分析中困难问题之一,微分学和积分学中许多概念都是由极限的定义引入的,它是学好导数和积分等后续内容的基础。因此,极限问题在微积分中占有很重要的地位。本文较全面地介绍了求数列与一元函数极限常用的几种方法。
关键词:极限;方法;洛必达;等价无穷小
数学分析或者高等数学中三大基本概念——连续、导数、积分无一能离开极限概念,极限概念与求极限的运算是从初等数学迈入高等数学的一个重要门槛,因此,透彻理解极限概念并能熟练运用各种求极限的方法是学好数学分析或者高等数学课程的基础。然而求极限的方法很多,又非常灵活,没有简单的章法可循,这就给大学新生学习数学分析或者高等数学带来了较大的困惑,与此同时极限学得好坏直接关系到该课程
后续内容(连续、导数、积分等)的学习,还将影响到一些相关课程的学习。因此,我们将对求极限常用的一些方法进行结归纳。
一、运用函数连续性求函数的极限
二、运用极限的四则运算法则求极限
这也是我们常常在不知不觉中运用的一个法则,笼统说来就是“和差积商的极限等于极限的和差积商”。要注意的是此方法适用的前提条件:各个极限都分别存在,且运用除法法则时还需要分母的极限不为零。
三、洛必达法则
四、运用等价无穷小替换定理
我们常用的9个等价无穷小中的x是个模子,如果把x换成任何能够趋向于零的函数那么仍然成立,这也是此方法常用的原因。还有重要的一点是,初学的同学经常分不清楚什么时候可以用等价无穷小替换,什么时候不能用。通俗地不严格地讲,如果这个无穷小是求极限函数的一个因子(求极限的函数可以写成该无穷小乘以另外一个函数,有时候该无穷小就是求极限函数的分子或分母,这正是定理中描述的情况),那么一般说来我们就可以用它的等价无穷小替换以简化计算。
五、利用两个重要极限求极限
以上的五大方法是我们最常用的求极限的方法,此外还有很多其他的求极限的方法。
(2)利用变量代换简化计算。变量代换这一思想方法不但在求极限中,在其它很多问题(比如积分问题、微分问题、求解微分方程的问题等等)中都扮演了很重要的角色,用好这一技巧,常常能简化计算,减少计算量,有时还会起到意想不到的效果。在例6中我们就应用了这一方法来减少计算量,而且把“零乘无穷大”型的未定式转化成了能用洛必达法则的基本类型。在例4中我们也曾应用这一方法来减少计算量。
(3) 利用“无穷小量乘以有界变量仍然是无穷小量”来求极限。无穷小量的这一性质容易被我们忽略。我们在上面例1中就应用了这一性质。
(4)利用夹逼准则求极限。这种方法技巧性较强,我们常在求数列极限时考虑此类方法,而且该数列的通项是由很多有规律的项组成的情况。比如我们通常用夹逼准则来求■n■+■+…+■。
除此之外,还有利用单调有界准则、运用极限的定义、泰勒展开式、定积分的定义、中值定理、幂级数的和函数、收敛级数的性质等等许多方法求极限。在学习极限的过程中,勤思考、多总结,才可以熟能生巧,将各种方法融会贯通、灵活运用。
参考文献:
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