【摘 要】本文探讨多元连续函数的零点定理及其在一道线性代数问题中的应用。在当前通用的数学分析及微积分教材中,多元连续函数的性质都较少涉及。本文从一道经典的二次型习题出发,讨论多元连续函数的零点定理并讨论在该题中的应用。试图探讨微积分如何在其他学科中应用,使知识能有效在不同学科之间融会贯通并收到好的教学效果。
【关键词】二次型;连续函数;零点定理
连续函数是微积分中讨论的主要对象。无论一元函数微分学还是多元函数的微分学都是基于连续函数讨论的,积分学则可将条件适当放宽。在当前通用的数学分析和微积分教材中,对一元连续函数的性质进行了深入细致的介绍,但对于多元连续函数的性质却较少涉及。本文针对一道经典的二次型习题,结合常用的解法及连续函数性质在这道习题的应用进行探讨,抛砖引玉,希望能和各位同仁交流和讨论。
连续函数零点定理
首先我们回顾一元连续函数的零点定理。
定理:设h(x)是闭区间上的连续函数。若h(a)h(b)<0,则至少存在一点c∈(a,b)使得h(c)=0。
我们可以看出,例1中的条件与结论和零点定理中的条件与结论几乎完全一致,唯一不同之处在于零点定理讨论的是一元函数而例1中的二次型是n个变量的连续函数。零点定理中结论中函数的零点是满足条件a 或者将坐标写成x=μx1+(1-μ)x2,y=μy1+(1-μ)y2。 即直线AB上任一点的坐标可由A,B两点的坐标来表达。这样的构造Rn也是自然成立的。于是我们有: 定理:设是中闭区域上的连续函数。若存在两点使得,则至少存在一点使得。 证:设的坐标分别为。我们首先考虑为凸集的情况,即对任意,总有点。这样的点集实际上就是中连接两点的线段。构造函数。 g(t)=F(tx1+(1-t)y1,…,txn(1-t)yn)。 则g(t)是闭区间[0,1]上的连续函数且g(0)=F(P2),g(1)=F(P1)。故g(0)g(1)<0,从而有一元连续函数的零点定理,存在t0∈(0,1)使得g(t0)=0。将t0对应的点(t0x1+(1-t0)y1,…,t0xn+(1+t0)yn记作P0,则f(P0)=g(t0)=0。其次一般情况下,因为D是Rn中闭区域,故闭区域D中两点P1,P2总是可通过有限条线段连接。若在某条线段的端点出函数值为零则结论已成立。否则,总是存在某一条线段使得其两个端点处的函数值异号,这样就回到了我们开始证明的情况。于是得证。 总结 本文探讨了多元连续函数零点定理并进一步讨论其在求解线性代数中一道二次型问题的应用。探讨不同学科之间的内在联系,探讨微积分如何在其他学科中应用,使学生能有效在不同学科之间融会贯通并加深对所学知识的理解。 参考文献 [1]北京大学数学系,高等代数(第二版),高等教育出版社,1988 [2]姚慕生,吴泉水,谢启鸿.高等代数学(第三版),复旦大学出版社,2014 [3]华东师范大学数学系,数学分析下册(第三版),高等教育出版社,2001 (上海高校青年教师培养资助计划(No.slg12024),沪江基金(B14005))