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摘 要:利用B函数和Γ函数的定义和一些性质, 方便计算某些三角函数积分和反常积分,用以说明Euler函数的优越性。Γ函数和B函数最早由Euler引入,它作为一种特殊函数, 具备了丰富和优美的特征, 在数学的许多分支以及物理、工程等学科中都起着重要的作用。本文通过一些实例, 说明它的一些应用,对比出其优势,旨在抛砖引玉。
关键词:Euler积分;Γ函数;B函数
一、Euler积分[1]
含参量积分Γ(s)=∫xs-1 e-xdx(s>
0)。
B(p,q)=∫xp-1 (1-x)q-1dx(p>
0,q>0)。
在应用中经常出现,统称为Euler积分,分别称为Γ-函数与B-函数。
1.Γ-函数
(1)Γ(s)在定义域s>0内连续且可导。
(2)递推公式 Γ(s=1)=sΓ(s)=
Γ(s)=(s-1)(s-2)…(s-n)Γ(s-n),
n
∫e-xdx=1。
Γ(n+1)=n!
由于Γ(s)=—以及
Γ(1)=1,所以limΓ(s)=+∞。
(3)余元公式[2]。Γ(p)Γ(1-p)=
—(0
(4)Γ(s)的其他形式:令x= y2=Γ(s)=2∫y2s-1e-y dy(s>0),同样可以推出Γ(—)=√π。
令x=py =Γ(s)=∫ xs-1e-xdx= p∫ xs-1e-pydy(s>0,p>0)。
(5)倍乘公式 Γ(2s)=22s-1π-—Γ(s)Γ(s+1),证明略。
2.B-函数
(1)B(p,q)在定义域p>0, q>0内连续。
(2)对称性B(p,q)=B(q,p),作变换x=1-t就得到 B(p,q)。
(3)递推公式。
B(p,q-1)=B(p, q-1)—
B(p,q)=B(p-1,q)—
B(p-1,q-1)=—
B(p-1,q-1)
(4)B(p,q)的其他形式:①作
变量代换x=cos2φ就得B(p,q)=
2∫sin2q-1φcos2p-1φdφ (1.2.1),
B(—,—)=π。②作变量代换x= —,得B(p,q)= ∫ —dt= ∫—dt+∫ —dt,作变量代换x=—,于是B(p,q)=∫—dt。
3.Γ-函数与B-函数的关系
(1)B(p,q)=—, p>0,q>0。
(2)当p+q=1,B(p,1-p)=Γ(p)Γ(1-p)=—,0
(3)几个重要公式(Legendre公式)
Γ(s)Γ(s+—)=— Γ(2s)
(Stirling公式)Gamma函数有如下的渐进估计:
Γ(s+1)=√2πs(—)se—,s>0,
0<θ<1。
证明[3]略。由此公式可以推出物理学中一个重要公式:lnn!~nlnn-n。
二、应用
1.用Euler积分解决三角函数积分
把(1.2.1)中的2p和2q分别改写成p+1和q+1得:
∫sin2q-1φcos2p-1φdφ=∫(cosφ)p
(sinφ)qdφ=—
由此可知
∫(sinφ)ndφ=∫(cosφ)ndφ=
—B(—,—)=—
—·—,n=2m
== m=1,2,3,……
—,n=2m+1
同样可以用分部积分求出递推公式[4],但足见其远不如用Euler积分方便。
例 1:计算积分I=∫sin6xcos4xdx。
解:利用Beta函数的性质及Gamma
函数的递推公式得:
I=∫sin6xcos4xdx=—B(—,—)=—
—=—[—·—√π]
[—·—·—√π]=—
例2 :利用余元公式计算 Γ(—)。
解:Γ2(—)=Γ(—)Γ(1-—) =
—=π,=Γ(—)=√π。
2.用Euler积分解决反常积分
例3:求积分∫—。
解:令t=x6,利用余元公式有
I=— ∫—dt=—∫—dt=—B(—,—)=—Γ(—)Γ(1-—)=—·—=—
例4:计算I=∫xne-ax.其中n为正整数,a为正的常数。
解法1(略)
解法2 令ax=t,I=∫—e-t·—=—Γ(n+1)=—n!
对比可发现用Euler积分的方便。
例5:计算概率积分I=∫e-xdx。
解法1(略)用重积分计算
解法2 利用Γ(s)的变形公式,Γ(s)=2∫y2s-1e-ydy,
当s=—时由例2得Γ(—)=√π。
因此I=∫e-xdx=—。
三、 结语
由以上例子可以看出,Euler积分简单易学,灵活应用可以使简化解题思路,降低解题难度 ,节省解题时间,提高解题正确率,而且有些例子不用Γ函数和B函数,则计算过程非常困难。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析(下)[M].北京:高等教育出版社,2004:190.
[2][3]吴崇试.数学物理方法[M].北京:北京大学出版社,2000:180.
[4]华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2004:227.
(作者单位:亳州职业技术学院)