【摘 要】本文用线性化方法求解二维非线性sine-Gordon方程的初边值问题。首先,基于有理式逼近构造了一个三层隐式差分格式,其差分格式的截断误差为。该格式含非线性项,对于每个时间层上问题的数值解,都需要解决一个规模较大的非线性差分方程组。为了避免求解非线性差分方程组,本文采用预估-校正法。对非线性项做一种近似,将非线性问题转化为线性问题,得到了一个三层显式差分格式,其截断误差都为,本文用该显式格式作为预估式,隐式格式作为校正式,并用Fourier方法分析了格式的稳定性,收敛性。
【关键词】sine-Gordon方程 预估-校正 孤子解 局部误差 稳定性 收敛性
第1章 绪论
1.1 引言
sine-Gordon方程是一类在物理上有着重要意义的方程,sine-Gordon方程已被用来描述晶格位错的传播,磁性晶体的Bloch壁运动,沿类脂膜的扩张波的传播,基本粒子的统一理论,线中的磁通量的传播。而对于此类方程数值解的求解,一般有有限差分法,有限元,谱方法等方法。特别的,对于一维sine-Gordon方程,
(1.1)
其孤立子解在理论上和数值上已经研究清楚。有关解的存在性,唯一性等理论性质可参考文献[1-2],许多学者也构造了一些数值方法。
对于二维的 sine-Gordon 方程
(1.2)
在物理学中具有重要的意义,许多学者也做了一些数值上的研究。偏微分方程的数值解在数值分析中占有重要的地位,很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题。有限差分方法是当今流行的偏微分方程数值解的主要方法之一。主要集中在解决依赖于时间的方程的数值模拟。基于这种特点,本文考虑满足如下非线性sine-Gordon方程的初边值问题:
(1.3)
作数值模拟。
1.2 研究现状回顾
提出了广义sine-Gordon方程,并证明了广义吸引子的存在性,证明了此方程的存在性和唯一性。应用线性化方法求解问题(1.3),提出了预估-校正格式,基于此思想,本文对sin(u)做三种不同的线性化近似,提出了三个显式预估-校正格式。
1.3 本文主要引理
引理1.3.1 (Miller准则)设 A 0 ,实系数二次方程
(1.7)
的两根模小于或等于1的充要条件是:
(1.8)
引理1.3.2 (von Neumann条件)对于两层常系数差分方程组
(1.9)
其中,均是阶矩阵,,差分方程(1.9)按谱范数稳定的一个必要条件是von Neumann条件成立,即对任意的,和一切,恒有
(1.10)
其中表示的谱半径,为增长因子。
引理1.3.3 (Lax等价定理)如果给定一个适当提出的线性初值问题以及一个与它相容的差分方程,则该差分方程组的稳定性是收敛性的充分必要条件。
第2章 二维sine-Gordon方程的几种差分格式
2.1 网格剖分
区域,对平面区域作网格剖分,取空间步长,时间步长为,
本文采用符号如下:
网格点处的数值解,
网格点处的真实值,
解向量:
(2.1)
因此在每一个时间层上,有数值需要求解。
2.2 格式构造
格式构造如下:
用二阶中心差分代替方程(1.3)的空间微分项,在时间写成向量的形式有:
(2.2)
其中。
(2.3)
阶为,其中.
,(2.4)
又由
(2.5)
其向量形式可以写成:(2.6)
其中故有:
(2.7)
对做最佳有理式逼近,
(2.8)
其中E为恒等算子,得,因此:
(2.9)
即(2.10)
用如下估计:
(2.11)
(2.12)
(2.13)
得到三层隐式差分格式:
(2.14)
令故在网格节点处,得到三层隐式差分格式。
隐式差分格式:
(2.15)
2.2.1局部截断误差
性质2.2.1 隐式差分格式的局部截断误差为:
(2.16)
由泰勒展开式,容易证明。
2.2.2 稳定性、收敛性分析
应用Fourier方法分析隐式差分格式1的稳定性和收敛
性。
定理2.2.1 当或时,隐式差分格式是稳定的和收敛的。
证略
2.3 预估-校正格式
对上述格式,在求解过程中需要解一个非线性方程组,为了避免求解非线性方程组,A.G. Bratsos提出了预估-校正格式。首先,将非线性问题线性化,得到显式格式:
(2.17)
格式(2.17)作为预估-校正格式的预估格式,相应的格式作为校正格式,这样,避免了非线性方程组的求解。可以证明格式(2.18)的截断误差为:
(2.18)
并且A.G. Bratsos给出了格式(2.17)稳定性条件
(2.19)
其中
我们基于这种思想,对非线性项sin(u)做三种不同的线性化近似,得到三种较简单的显式差分格式作为预估格式,并分析了格式的截断误差和稳定性,然后用相应的格式进行校正。
2.3.1 预估格式
显式差分格式
(2.20)
注:
性质2.3.1 显式差分格式1的截断误差为:
(2.21)
下面用Fourier方法分析显式差分格式1的稳定性与收敛性。
定理2.3.1 当时,显式差分格式1是稳定的和收敛的。(证略)
2.3.2 校正格式
由隐式差分格式1,得预估-校正格式的显式校正格式:
(2.22)
第3章 全文总结
本文将基于有理式逼近的线性化方法应用于二维非线性sine-Gordon方程的在三层递推关系中,一般的,此种方法可应用于非线性系统。为了避免解决非线性方程组,本文应用了预估-校正方法,用两个显式格式成功的对每层上sine-Gordon方程的数值解进行了有效近似。
参考文献
[1]张建文,王旦霞,吴润衡。一类广义强阻尼Sine-Gordon方程的整体[J],物理学报,2008,57(4):2021-2025
[2]Zhu Zhi-wei,Lu Yong.The existence and uniqueness of solutions for a generalized sine-Gordon equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics,2000,15(1):71-77
[3]J. Argyris,M. Haase,J.C. Heiich,Finite element approximation to two-dimensional sine-Gordon solitons,Computer Methods Applied Mech. Eng. 86(1991)1-26
[4]周艳祖,张义,王潇。非线性sine-Gordon方程的三种差分格式。暨南大学学报(自然科学版),2008,29(3)234-238