【摘要】本文用确界定理证明了连续函数的两个与之等价的重要性质定理——根的存在定理和最大值最小值定理,是一种全新的证明.方法简单巧妙,不落俗套,避免了传统的用闭区间套定理证明的啰嗦麻烦,很有参考价值.
【关键词】确界定理;最大值;最小值定理;证明
1根的存在定理
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,并且f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(c)=0.
证明 不妨设f(a)<0,则f(b)>0.由连续函数的局部保号性定理,存在δ>0与δ′>0,使得x∈[a,a+δ)时有f(x)<0,x∈(b-δ′,b]时f(x)>0.
设以a为左端点且使f(x)<0的任一区间为[a,b′),记所有这样区间的右端点集合为E,则由x∈[a,b′)时f(x)<0及x∈(b-δ′,b]时f(x>0)知:[a,b′)∩(b-δ′,b]=,从而得到b′≤b-δ′<0.于是E有上界,由确界定理E有上确界,记supE=c,则必有f(c)=0,且x∈[a,c)时f(x)<0.
若f(c)≠0,又由连续函数的局部保号性定理,存在δ1>0,使得x∈(c-δ1,c+δ1)时,f(x)与f(c)同号.
若f(c)<0,则在(c-δ1,c+δ1)内有f(x)<0.又在[a,c)内f(x)<0,所以在[a,c)∪(c-δ1,c+δ1)=[a,c+δ1)内f(x)<0,从而在闭区间a,c+δ12上每一点有f(x)<0.这与c是使f(x)<0所有区间[a,b′)的右端点集合E的上界相矛盾.
若f(c)>0,则在(c-δ1,c+δ1)内有f(x)>0,从而在(c-δ1,c)内f(x)>0.据此及a 在上面证明第一段的基础上,也可设以a为左端点且使f(x)<0的任一区间为[a,b′),记所有这样的区间长度构成的集合为E,由于d∈E,有d≤b-a,所以E有界.由确界定理E有上确界,记为r…可以证明c=a+r.证明留给读者. 2最大值最小值定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在该区间上必有最大值和最小值. 证明 只就最大值的情况予以证明,最小值同理. 因为f(x)在闭区间上连续,所以f(x)在[a,b]上有界.设在区间[a,b]上f(x)的值域为E,则E有界.由确界定理E有上确界,设supE=M.只要证明M∈E,便有fmaxx∈[a,b](x)=M. 由于supE=M,由上确界的定义,对y∈E,有y≤M,且ε>0,y0∈E,使得y0>M-ε.这样,便有y0∈E,M-ε<y0 另一方面,n∈N,由yn∈E,知道xn∈[a,b],使得yn=f(xn).由于xn∈[a,b],所以{xn}有界.由致密性定理知{xn}必存在收敛子列{xnk},设limk→∞xnk=x0.又由{xnk}[a,b]及[a,b]是闭集知x0∈[a,b],又由f(x)在闭区间上连续得 M=limn→∞yn=limk→∞ynk=limk→∞f(xnk)=f(limk→∞xnk)=f(x0)∈E. 故有fmax(x)=M. 【参考文献】 [1]陈传璋,等.数学分析[M].人民教育出版社,1979. [2]刘玉琏,等.数学分析讲义[M].高等教育出版社,2003. [3]记乐刚.数学分析[M].华东师范大学出版社,1993. 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文