【摘要】 在学习数学分析中,Riemann积分和数项级数这两块非常重要,但是对于初学者却不是很容易理解其中所含的原理,这篇文章对其中可能存在的问题做一下说明与补充.
【关键词】 Riemann积分;数项级数;研究与解析
【中图分类号】 O175 【文献标识码】 A
一、主要内容
1.Riemann积分条件
现在流行的数学分析的教材中对Riemann积分的定义如下:
定理1:设Tn;a=x(n)0 ∑ mn i=1 f(ξi)Δx(n)i,ξi∈[x(n)i-1,x(n)i],Δx(n)i=x(n)i-x(n)i-1, 当n→∞时的极限存在,且极限值不依赖于ξi在[x(n)i,-1,x(n)i]中的选取. 在定理1中我们看到它强调的是“分划”与“取法”的任意性并且还要求lim n→∞ ‖Tn‖=0.现在我们将上述的分划的任意性和lim n→∞ ‖Tn‖=0去掉得到如下的推论: 推论1:设Tn;a=x(n)0 ∑ mn i=1 f(ξi)Δx(n)i,ξi∈[x(n)i-1,x(n)i],Δx(n)i=x(n)i-x(n)i-1, 当n→∞时的极限存在,且极限值不依赖于ξi在[x(n)i,-1,x(n)i]中的选取. 证明: 必要性是显然的. 充分性:我们先证明f是有界.用反证法:设f是无界的函数,那么由题意我们知道当n→∞,∑ mn i=1 f(ξi)Δx(n)i是存在的,我们不妨假设为M,即在[x(n)i-1,x(n)i]上存在Mi使得f(ξi) f(ξi)≥m(n)i>f(ξi)- 1 nmnΔx(n)i ,(i=1,2,3,…,mn), 所以: ∑ mn i=1 f(ξi)Δx(n)i≥s(Tn)>∑ mn i=1 f(ξi)Δx(n)i- 1 n , 因此lim i=1 s(Tn)=lim n→∞ ∑ mn i=1 f(ξi)Δx(n)i.同理我们可以得到: lim i=1 S(Tn)=lim n→∞ ∑ mn i=1 f(ξi)Δx(n)i. 所以我们有: lim n→∞ [S(Tn)-s(Tn)]=0 (1) 对[a,b]的任一分划T:a=x0 S(T1)-s(T1)≤S(Tn)-s(Tn). (2) 分划T1可看成是在T的基础上加上Tn的至多mn-1个分点得到的分划(区间的端点在两个分划下相同),所以分划T的k个小区间中至少有k-mn+1个仍是分划T1的小区间.因此s(T)和s(T1)中至少有k-mn+1项是相同的,不同的项在s(T)中至多有mn-1个,而在s(T1)中至多可能有2(mn-1)项(每个新分点在T1中对应两个与T中小区间不相同的小区间).容易知道不相同的项所对应的小区间长度都不超过‖T‖.再由|f(x)|≤M可得: s(T1)-s(T)≤3(mn-1)M‖T‖. 同理我们有: S(T1)-S(T)≥-3(mn-1)M‖T‖. 因此我们有: S(T)-s(T)≤S(T1)-s(T1)+6(mn-1)M‖T‖ 于是我们由(2)式得到: S(T)-s(T)≤S(Tn)-s(Tn)+6(mn-1)M‖T‖ (3) 根据(1)式,对任意ε>0,存在自然数N使得S(TN)-s(TN)< ε 2 ,我们取定δ= ε 12 (mN-1)M,那么当‖T‖<δ时,由(3)式有S(T)-s(T)<ε.故 lim ‖T‖→0 [S(T)-s(T)]=0 所以f在[a,b]上Riemann可积. 其实Riemann积分的几何意义就是“以直代曲”的方法求曲边梯形的面积,现在我们根据上述推论1我们知道如果曲边形有一段是直线,那么我们就不必在“代”了.我们会得到下列陈述成立:若在推论1的前提下有lim —— n→∞ ‖Tn‖=λ>0,则存在[a,b]的一个长度为λ的子区间(c,d)使得f在(c,d)上取常值.在这里我们就不在证明了,有兴趣的读者可以自己证明一下. 2.数项级数 我们在学习数项级数收敛于发散这一节时,可能会有些疑问,为什么在某些判别法下可以确定敛散性,但在另外一种方法下我们却不能判定敛散性.我们在学习时也会有疑问在其中一种判别法判定收敛时,但在另外一种却不能判定敛散性时,我们是否能说这个级数收敛呢?现在我们就来分析一下这些问题.首先所谓用一种判别法可以判别收敛,但是用另外一种不能够判定是否收敛就是判别法的强弱问题,而判别法的强弱与建立它所依据的标准级数的收敛速度有关,例如我们选取三个标准级数:∑ ∞ n=1 an(01),∑ ∞ n=1 1 n(lnn)t (t>1).首先我们来看收敛的速度.显然∑ ∞ n=1 an(0∑ ∞ n=1 1 nt (t>1)>∑ ∞ n=1 1 n(lnn)t 所以如果我们在以上述级数为标准建立的各类正项级数判别法是最后一项最强,其次是以∑ ∞ n=1 1 nt (t>1)为标准级数建立的判别法,最后就是以∑ ∞ n=1 an(01)为标准级数建立的两个判别法:对数判别法和Raabe判别法(见参考文献[1],[2])适用的范围是对数判别法强于Raabe判别法. 例1 ∑ ∞ n=1 an=∑ ∞ n=1 3-[(-1)n+lnn] (ⅰ)我们先采用对数判别法得到: lim n→∞ ln(1/an) lnn =lim n→∞ ln(3[(-1)n+lnn]) lnn =lim n→∞ [(-1)n+lnn]ln3 ln3 =ln3>1. 所以由对数判别法我们知道∑ ∞ n=1 an=∑ ∞ n=1 3-[(-1)n+lnn]收敛. (ⅱ)我们采用Raabe判别法: n 1- an+1 an = n 1-32+ln n n+1 ,n为偶数;n 1-3-2+ln n n+1 ,n为奇数. 我们对其取上限可以得到: lim —— n→∞ n 1- an+1 an =+∞(n为奇数), lim —— n→∞ n 1- an+1 an =-∞(n为偶数). 所以我们用Raabe判别法无法判别是否收敛. 二、结束语 在数学分析中,我们知道Riemann积分和数项级数是两块重要的内容,也是从事数学研究工作者研究有关函数这一块的基础,所以理解运用好这两块非常重要,希望这篇文章可以对数学爱好者理解这两块有些帮助. 【参考文献】 [1]包虎.正项级数对数判别法的极限形式 [J].赤峰学院学报(自然科学版),2011,27(1):3-4. [2]姬小龙.正项级数的Raabe对数判别法[J].高等数学研究,2007,10(3):7-9.