【摘要】文章论述了利用压缩映像原理解决数学分析中证明加强条件的积分第一中值定理及计算数列极限等问题的方法。
【关键词】压缩映像原理 不动点 收敛
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2013)10-0126-01
1.引言
压缩映像原理是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要組成部分,它与近代数学的许多分支都有着紧密的联系。并且它是泛函分析中的一个最常用、最简单的存在性定理。特别是在建立各类方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用,其中包括各类线性的和非线性的、确定的和非确定型的微分方程、积分方程以及各类算子方程等方面都有着十分重要的作用。本文论述了压缩映像原理在数学专业基础课中某些方面的应用,来说明用它可以处理一些传统方法比较难解决的问题。
2.压缩映像原理
则称F为集合Q上的压缩算子,q称为压缩系数。
压缩映像原理 设算子F在Banach空间X中的闭集Q上为到自身的,且F为Q上的压缩算子,压缩系数为q,则算子F在Q内存在唯一的不动点x*,若x0为Q中任意一点,作序列
3.压缩映像原理的应用
3.1 压缩映像原理在证明积分第一中值定理方面的应用
f(x)为单调递减函数时可以得到同样的结论,积分第一中值定理中的ε不一定是唯一的,不过将定理的条件增强后得到的结论中ε是唯一的。
3.2 压缩映像原理在求数列极限中的应用
由压缩映像原理可知,数列{xn}收敛。
下面应用“压缩映像原理”求极限。