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摘 要:著名不等式之一“柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨”,也称“柯西不等式”,是高中数学研究内容之一,有着广泛应用,意义深远。本文围绕柯西不等式的众多形式(向量,三角,二维,一般形式),推导方式(构造函数法,数学归纳法),以及其在高中数学的具体应用(证明恒等式,解无理方程,证明不等式)展开,展示柯西不等式的奥秘。
关键词:不等式 最值 柯西-施瓦茨 向量 数学归纳法
引言
不等式在高中数学中有着重要的地位,甚至它可以推导出很多等式无法得到的隐藏信息,多用于求解最值等问题。在众多不等式中,柯西不等式是高等数学中的重要不等式之一。柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨(Cauchy-Buniakowsky-Schwarz)不等式[1]。因为,后续工作是由布尼亚科夫斯基和施瓦茨两位数学家推广到积分当中,将柯西不等式应用到十分完善的地步。此不等式最初于1821年被柯西提出,其积分形式在1859被布尼亚克夫斯基提出,而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出[2]。
柯西不等式在高中数学提升中极为重要,是高中数学研究内容之一。在学习和应用柯西不等式的过程中,难免会遇到一些问题。但作为著名不等式之一,灵活巧妙地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。当然,柯西不等式有着多种特殊形式及推广形式,证明方法也较多,且是一个在众多背景下都有应用的不等式,因此使用范围也较为广阔,在线性代数,数学分析,概率论,向量代数等问题具有重要的应用,因此柯西不等式产生的影响之大也不言而喻[3]。基于此,本文拟以柯西不等式为例,在众多证明方法中,通過构造函数法证明方式,数学归纳法证明方式进行证明[4],从应用技巧方面进行总结和归纳,并谈谈它在高中数学中的一些具体应用。
一、柯西不等式基本原理
柯西不等式有着多种特殊形式[5],接下来简述向量形式,三角形式,二维形式及一般形式。
结语
柯西不等式在高中数学中的应用能为不等式的证明,最值的求解等提供更优解法,在一定程度上减少了计算量。柯西不等式有着多种特殊形式及推广形式,如向量形式,三角形式,二维形式,及一般形式等,且可以通过构造函数,数学归纳法进行推导,有着较为广阔的适用范围,其在高中数学中的应用能为不等式的证明,最值的求解等提供更优解法,在一定程度上减少了计算量。
参考文献
[1]蔡海欧.柯西不等式含义诠释初探[J].数学通报,2001(6):45-46.
[2]王玉兰.柯西不等式的一个简单证明及应用[J].海洋世界,2002(2):136.
[3]徐幼明.柯西不等式的推广及其应用[J].数学通讯,1996(12).
[4]谌晓鸿.柯西不等式在中学数学中的应用[J].内江师范学院学报,2009,24(6):70-71.
[5]宫雪.柯西不等式的推广及其在高中数学中的应用[J].数学教学研究,2012,31(3):58-59.