【摘要】本文列出了国内外微积分教材中计算积分的三种常见情况,并分别讨论了其中存在的问题。给出了第二类换元积分法的完整描述和证明。最后给出了计算积分的详细过程。
【关键词】换元积分法 不定积分法 变换函数
【中图分类号】O175【文献标识码】A【文章编号】1009-9646(2008)10(b)-0159-02
积分的计算是积分学的重要内容。关于积分计算的常用方法是换元积分法和分部积分法。其中,换元法有第一换元法和第二换元法,第二换元法又称代入换元法,因其利用到反函数的求导法则,所以要求变换函数[1]这一条件。
但对于在边界处为零的情况,在使用第二换元法该如何正确处理,现有的国内外数学分析及微积分教材未有明确的讨论和说明,且各种教材说法不一。下面分类列出计算不定积分或当a=1时,即的各种情况并加以讨论。
1 现有教材中利用第二换元法计算积分的三种情况
种类Ⅰ 在计算时使用第二换元积分法,令,而未排除在边界处的点[1][2][3][4][5]。
以下是文献[1]中具体的求解过程。
例1求.
解令,我们得到
以上计算积分时,取值,但当或时,,这与第二换元积分法定理中要求的这一条件矛盾。因此,该写法不妥。
种类Ⅱ 在计算时使用第二换元积分法,令,缩小了x的取值范围[6][7][8][9][10] [11]。
以下是文献[6]中具体的求解过程。
例2求.
解设,那么
于是根式化成了三角式,所求积分化为
由于,所以
于是所求积分为
以上计算积分时,取值,符合第二换元积分法定理中要求的这一条件,但该变换缩小了x的范围,即x取不到两边界的值,而在求解中未作注解,这就缺少了数学的严密性。
种类Ⅲ 在计算时使用第二换元积分法,令,而对t的范围未作说明[12] [13][14][15]。
以下是文献[12]中具体的求解过程。
例3求.
解作变换,于是
从而有
用
代入上式,得
以上计算积分时,对于变换后t的取值未作说明,这容易使读者困惑,同时也缺少了数学的严密性。
分析以上三种情况,笔者认为在使用第二类换元法计算在边界处为零的积分时,应先讨论清楚该方法是否仍然适用,再在求解中给出明确的注解。以下是笔者对第二类换元积分法定理的改善及证明。
2 对第二类换元积分法定理的改善及证明
定理1 设 在[a,b]上连续,变换存在反函数
且,则有
证明:当时,
当,若,
对于;时,同理可证。
所以,是f(x)在区间[a,b]上的原函数,因此
笔者建议以后的教材在编写该部分时,应先对定理进行以上表述与证明,在计算积分时,可采用以下计算过程。
3 积分的计算过程
例4求.
解设,那么
且,
于是根式化成了三角式,所求积分化为
由于,
所以,
于是所求积分为
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