摘 要:研究不等式的方法可谓众多,本文利用詹森(Jensen)不等式这个高等数学中比较重要的证明不等式方法着手.首先简明扼要地介绍詹森(Jensen)不等式定义,证明詹森(Jensen)不等式和用詹森(Jensen)不等式定义如何解决不等式证明问题,由于詹森(Jensen)不等式的重要性,文章中将詹森(Jensen)不等式作为基础不等式,推出高等数学中其它几个常见且极其重要的不等式。
关键词:不等式;詹森不等式
不等式是高等数学中非常重要的课题之一,在高等数学中占有极其重要的地位。因此,对不等式作一些必要的研究具有重大的意义,同时,也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。
研究不等式问题,方法众多,本文将着重以高等数学中詹森(Jensen)不等式为理论基础,探讨如何解决不等式问题。
1Jensen不等式
定理1若f为[a,b]上凸函数(凹函数),则对任意[xi∈[a,b]], [λi>0(i=1,2…,n)],[i=1n=1]有[fi=1nλixi≤(或≥)i=1nλif(xi)]。
证明:在这里只证明f为凸函数的情况.下面让我们应用数学归纳法来证明。
当n=2时,则由凸函数定义知命题显然成立。
设n=k时命题成立,即对任意[x1,x2…xk∈[a,b]]及[ai>0],[i=1,2…,k,i=1kai=1]都有
[f(i=1kaixi)≤i=1kaif(xi)]
现设[x1,x2…xk,xk+1∈[a,b]]及[λi>0(i=1,2…,k+1)],[i=1k+1λi=1]
令[ai=λiλk+1],[i=1,2…,k],则[i=1kai=1],由数学归纳假设可推得
[f(λ1x1+λ2x2+…+λkxk+λk+1xk+1)]
=[f[(1-λk+1)λ1x1+λ2x2+…+λkxk1-λk+1+λk+1xk+1]]
≤[(1-λk+1)fa1x1+a2x2+…+akxk+λk+1f(xk+1)]
≤[(1-λk+1)a1fx1+a2fx2+…+akfxk+λk+1f(xk+1)]
=[(1-λk+1)λ11-λk+1fx1+λ21-λk+1fx2+…+λk1-λk+1fxk+λk+1f(xk+1)]
=[i=1k+1λifxi]
故命题成立。
例1:
1)不等式[abca+b+c3≤aabbcc],其中a,b,c均为正数。
证明::设[fx=x1nx,x>0],由[fx]的一阶和二阶导数:
[f"x=]In[x+1,f""x=1x]
可见[fx=x]Inx,在[x>0]时为严格凸函数,依Jensen不等式有
[fa+b+c3≤13(fa+fb+f(c)]
从而[a+b+c3]In[a+b+c3≤13(a]In[a+b]In[b+c]In[c)]
即[(a+b+c3)a+b+c≤aabbcc]
又∵[abc3≤a+b+c3]
所以[(abc)a+b+c3≤aabbcc]
2)设[xi∈0,π,i=1,2,…,n],则
[sinx1sinx2…sinxn≤(x1+x2+…+xnn)n]
证明:令[fx=]In[sinx,x∈0,π]则[f"x=ctgx],[ f"x=-1sin2x<0.]
于是可知[fx]是凹函数,所以有
In[sinx1+]In[sinx2+…+]In[sinxn≤n]In[(sinx1+x2+…+xnn)]
即
[sinx1sinx2…sinxn≤sin(x1+x2+…+xnn)n]
特别地,若A+B+C=[ π],则有[sinA2sinB2sinC2≤18]。
2利用Jensen不等式证明均值不等式
定理2(均值不等式):对任意n个实数[ai≥0,i=1,2,3…n]恒有
[n1a1+1a2+…+1an≤a1a2a3…ann≤a1a2…ann]
并且当[a1=a2=...=an]时等号成立。
证明:取函数[fx=Inx,x∈0,+∞]。
因为[f""x=-1x2<0,x∈0,+∞→f(x)]是区间[0,+∞]上严格凹函数。
则对[∀a1,a2,…,an∈0,+∞]及[λi=1ni=1,2,…,n,n∈N+]。
(i)若[a1=a2=…=an],则上式等号成立。
(ii)若[a1,a2,…,an]不全相等,则由詹森不等式。
[fi=1nλiai≥i=1nλif(ai)] ①
即
In[a1n+a2n+…+ann≥1n][In[a1]+In[a2]+...+In[an][=1n]In[a1a2…an]
[fi=1nλi1ai≥i=1nλif[1ai]] ②
即
In[1na1+1na2+…+1nan=]In[1n[1a1+1a2+…+1an]
[≥1n][In[1a1]+In[1a2]+...+In[1an]][=1n]In[1a1a2…an]
In[1a1+1a2+…1an-]In[n≥-1n]In[a1a2…an]
或
In[n-]In[1a1+1a2+…1an≤1n]In[a1a2…an]
因為[f]在([0,+∞])上单调递增.综合①,②结论得
[n1a1+1a2+…1an≤a1a2a3…ann≤a1a2…ann,]
命题成立。
3利用Jensen不等式证明柯西不等式
定理3(柯西不等式):当[a>0,b>0,p>1,1p+1q=1,]则[ab≤1pap+1qbq]。
证明:令[fx=-]In[x],则[f""x=1x2>0],[x∈0,+∞]这样显然[f(x)]为[0,+∞]内的凸函数[1p=λ1],[1q=λ2],令[a1=ap>0,a2=bq>0]由于[p>1]显然[q>1],由Jensen不等式易知
-In[ [1p]In[ap]+[1q]In[bq],[ab≤1pap+1qbq]。
参考文献:
[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993
[2]钱吉林.数学分析解题精粹[M].北京:崇文书局,2003
[3]徐利治.大学数学解题法诠释[M].合肥:安徽教育出版社,2001
[4]洁米诺唯奇.数学分析题解[M].北京:高等教育出版社,1975
[5]刘玉琏、傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1998