摘 要:常微分方程是大学数学专业的核心基础课之一,在数学专业学生的学习过程中起着承上启下的作用,处于一个举足轻重的地位。笔者根据自己对这门课程的了解,结合自身的教学工作,从课程背景出发,谈论了对这门课的教学目标、课堂教学以及教材改革三方面的认识。
关键词:常微分方程 实践 学科交叉 结合实际
中图分类号:G64文献标识码:A文章编号:1673-9795(2012)10(b)-0090-01
“常微分方程”课程是数学专业的核心基础课程之一,这是因为他是精确的表述自然科学和社会科学中各种问题的基本工具之一,是将理论与实践相结合的一个重要触角。
1 课程背景
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。
我系的常微分课程设在大二的上学期,学生已经完成了高等代数、解析几何以及大部分的数学分析课程之后才开始学习常微分方程的,学生可以利用已经学习过的知识来建立、求解方程;同时,后继课的偏微分方程、数学物理方程等课程需要学生对常微分方程这门课有足够的了解和认识,所以,常微分方程课程在数学专业学生的学习过程中起着承上启下的作用,处于一个举足轻重的地位。
2 教学目标
因为常微分课程是数学专业学生的基础课,所以与工科学生在高等数学中常微分方程的学习有所不同,不仅仅要求学生对方程的求解能力和对理论知识的掌握能力,同时需要他们有应用的能力,即解决实际问题的能力。前者在学习常微分的过程中基本可以具备,而后者则需要在学习的过程中不断实践才能得到。
3 课堂教学
课堂教学是学生学习的关键,在教学过程中,不能仅仅采用填鸭式的教学模式,那样,学生的思想会被禁锢住,也就没有了创新。教师应该和学生形成互动,多提一些引导学生思考的问题,比如说,在讲解恰当方程的时候,教师会强调构造相应全微分的原函数是在单连通的区域上的,只有这样才能保证是单值函数,讲到这里时,教师可以提出问题:为什么在单连通的区域上,就能保证是单值函数?实际上,这是一个场论的问题,由于学生是刚刚数学分析中多元函数的学习(我系学生是在大一下学期学习数学分析中的多元函数部分),所以根据格林公式,只有在单连通区域的情况下才能保证曲线积分
和积分路径没有关系。这样,既学习了微分方程,又温习了数学分析,使得学生学习到的知识连成了线,不再是单独的个体。
此外,教师可以利用常微分方程的背景知识来引起学生的兴趣,在引入微分方程的概念的时候可以通过举例子来引入,比如下面这样的例子:
一个线密度为λ的很长的柔软的绳子,绳子一端系着质量为m的小球,把绳子和小球盘在光滑桌子的边缘上(忽略大小和形状),小球从桌子边缘自由下落,带动绳子下落,求小球下落x距离后小球的速度v。
这是一个物理学的问题,现在大学都会开设《大学物理》这门课程,所以学生对题中涉及到的物理知识并不陌生。通过这个例子,结合物理学的知识,引导学生建立方程。这样既体现了学科的交叉,也增加了常微分方程这门课的乐趣。
教师的责任不仅仅是教学,还在于培养学生创造性的应用能力。因此,备课就显得尤为重要,作为教师,不能仅仅参考一本教材,然后按部就班的教给学生。应该以一本教材为主,多本教材为辅,结合这些教材中的优点,从学生的角度出发,由浅入深的将自己所拥有的知识教给学生,培养他们的创造性思维。
4 教材改革的设想
我系使用的是丁同仁、李承治编写的《常微分方程教程》,本书1991年出版第一版,2004年出版的第二版。第二版在第一版的基础上,保持风格与优点不变,对部分内容作了适当的精简和调整,考虑到先行微分方程组的求解可以利用“Maple”或“Mathematic”等计算机符号系统,省略了第一版第六章第四节关于算子法和拉氏变换法的介绍。但此书难度很大,我们认为应该根据我校学生的实际情况,在以上教材的基础上进行适当的更新,使常微分教材除了经典的方法和理论外,更能和实际相结合,从而提高学生的学习兴趣。
首先,我们想体现学科的交叉性,将微分方程在各个学科的渗透多多少少都有所体现,这样做的目的不仅增加了学生的学习兴趣,也对后期读研究生时专业的选择提供了一定的依据,毕竟数学是很多学科不可缺少的工具之一。
其次,选择适当的习题,现在教材上面的习题大多是计算题,实际问题很少。目前,常微分方程的应用非常广泛,国外的许多教材都强调了这一点,在其书中加了许多实际应用方面的问题。我们也希望如此来进行,从而引导学生分析问题,建立方程,解方程,从而解决实际问题,也就是说从实际中来到实际中去,提高学生应用所学知识的能力。这方面,由Edwards,C.H.Penney,David E.Edwards,C.H.Penney, David E编写的,机械出版社出版的Elementary differential equations做的就很好,值得借鉴。
参考文献
[1]丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社.
[2]Edwards,C.H.Penney,David E.Edwards,C.H.Penney,David E,Elemen-tary different tial aquations[M].機械出版社.