摘要:论文介绍了导数在解决积分函数性质中的应用,用求导的方法对单调性、有界性问题、最值性问题、零点定理问题、含参量积分的待定型极限的计算等一些函数基本性质进行探究总结。
关键词:函数 导数 积分 应用
微分与积分是数学领域中两大极为重要的概念,含参量积分与自从被提出就引起了许多学者的研究兴趣,到现在已经有了深入的发展。
1 单调性
例:设f(x)在[0,∞]上单调递增,且只有有限之间断点,则这函数在[0,∞],上( )
A 连续单调 B 连续但不单调 C 单调但不连续 D 既不连续又不单调
分析:用特殊值法解,令在0≤x≤1时在X>1时,则
(1)
注:(1)式中当都是单调的,且若
所以及
类型的函数,并且满足可微条件的积分函数,均可采用求导使积分号去掉,单纯的函数问题就比较简单了。
2 有界性问题
例:求证(n为正整数)在x≥0的最大值不超过。
证明:因为所以当0
故对一切而
所以当x≥0时,从而得证。
3 最值性问题
例:设f(x)在x≥1上是一正值的连续函数,试求
的最小值。
解:因为所以
令因为当x≥1时,。由于得到
故,的最小值。
4 零点定理问题
例:函数在[a,b]上连续,又证明
(1) (2)在[a,b]中有且只有一个实根。
证明:(1)因为在[a,b]上连续,F(x)在[a,b]上可微,且
(2)由(1)可知所以F(x)在[a,b]上单调递增,因为对一切所以
。
由零点定理及单调性可知:在[a,b]中有且只有一个实根。
5 含参量积分的待定型极限的计算
待定型极限的计算中,由变限积分与含参量积分中,一般用洛必達法则,把含参量积分部分作为分子或者分母,求导去掉积分号,然后求极限。
例:求证。
解:由洛必达法则
例:求极限
解:
原式=。
结束语:
导数在解决积分问题时有广泛的应用,具有很高的研究价值,虽然对导数与积分的研究有很久的历史,但它们之间的联系在解题中的应用尚未完全发现,这也将激励数学家不断探索。
参考文献:
[1] 江兆林等编.数学分析习题课讲义[M].南海出版社.1995
[2] 陈纪修,於崇华,金路主编,数学分析[M].高等教育出版社出版. 2004
[3] 阿黑波夫等著.王坤扬译.数学分析讲义[M].高等教育出版社出版. 2006
作者简介:潘学功(1967—),男,河北滦南人,河北软件职业技术学院副教授,硕士,从事学生管理和高等数学、统计学与信息技术的教学与研究。