摘 要:本文定义了含参量无界函数反常积分,并给出了使其一致收敛的判定准则。
关键词:含参量无界函数反常积分一致收敛
中图分类号:O172文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)06(b)-0158-01
积分问题一直是数学分析的一块重要内容.关于含参量无穷积分的各种定理已有完整理论体系,而含参量无界函数反常积分被提及很少.本文主要研究含参量无界函数反常积分定义,并给出了使其一致收敛的判定准则。
设在上有定义.若对的某些值,为函数的瑕点,则称为含参量的无界函数反常积分,简称含参量反常积分.若对,积分都收敛,则其积分值是在上取值的函数.含参量反常积分在上一致收敛的定义是:对,,当时,对,有,则称含参量反常积分在上一致收敛.
定理1:在上一致收敛当且仅当对,,当时,对,有.
证必要性:在上一致收敛可知,对,,当时,对,有:
,,
充分性:对,,当时,对,有.由瑕积分的柯西收敛准则知收敛.对,,当时,对,有:
,当,有:
,在上一致收敛.
定理2:在上一致收敛当且仅当对任一趋于的递增数列(其中),函数项级数在上一致收敛.
证:必要性:在上一致收敛,故对,,当时,对,有.又,对,,当,有,,在上一致收敛.
充分性:反证法,假设在上不一致收敛,则.对,和,使≥,取,则和,使≥,一般的取,有和,使≥,所得数列是递增,且.考察级数,由≥知,对,只要,有,使≥,与在上一致收敛矛盾,故假设不成立.
以上是对含参量无界函数反常积分的相关定理研究,希望对广大读者有所帮助.
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,2009(5):179~189.
[2] 姬春秋,张国铭.含参量积分的一条定理及其应用[J].大学数学,2009:25(5).
[3] 欧阳光中,姚允龙,周渊.数学分析[M].复旦大学出版社,2003(10).
[4] 董立华,叶盼盼.关于含参量广义积分一致收敛性的讨论[J].枣庄学院学报,2008(5).