分析和解决问题的能力是指能阅读、理解问题所陈述的材料;能综合运用所学数学知识、思想和方法解决问题。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象力等基本数学能力的综合体现。
一、审题能力
审题是对条件和问题进行全面认识,对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究,它是如何分析和解决问题的前提。它的内容包括以下两方面:
1.充分理解题意,把握题目本质
一道题目一般都能反映出一些所学的知识点,所以读完题目后,我们须把握住它所反映出来的知识方向,以便对症下药。
2.分析发现隐含条件,化简或转化成已知和所求
要快捷、准确地解决问题。掌握题目的数形特点,能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。
二、合理运用知识、思想、方法解决问题的能力
高中数学知识:函数,不等式,数列,三角函数,复数,立体几何,解析几何等内容。
数学思想:数形结合,函数与方程思想,分类与讨论和等价转化等。
数学方法:待定系数法,换元法,数学归纳法,反证法,配方法等基本方法。
只有理解和掌握所学基本知识、思想、方法,才能解决高中数学中的一些基本问题。而合理选择和运用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速。
三、分析和解决问题能力的培养策略
解决数学问题是中学数学教育的核心,培养学生解决问题的能力是数学培养的最终目标。数学教育家波利亚说过:“数学教师的首要责任是尽其一切可能,来发展学生解决问题的能力。”在大力提倡素质教育的今天,高中学生不仅要会解决书本中的数学问题,还要会解决生活中的实际问题,这就要求学生有很强的解决问题的能力,而现在的高中生恰恰缺少这方面的能力,造成高考中数学成绩低,所以培养并且提高学生解决数学问题的能力是数学教育的一个重要组成部分。
1.引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
数学思想较之数学基础知识,有更高的层次和地位。它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中,它是一种数学意识,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现,具有模式化与可操作性的特征,可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了,才能在分析和解决问题时得心应手;只有领悟了数学思想与方法,书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论,如分类讨论思想可以分成:(1)由于概念本身需要分类的,像等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等;(2)同解变形中需要分类的,如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。又如,数学方法的选择,二次函数问题常用配方法,含参问题常用待定系数法等。因此,在数学课堂教学中应重视通性通法,淡化特殊技巧,使学生认识一种“思想”或“方法”的个性,即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效,从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。
2.解决问题中可能遇到的障碍
高中数学解题过程也遵循波利亚的解题表中的四个步骤:“为了把我们表中的那些问题和建议方便地归类和汇集在一起,我们将把工作分为四个阶段。第一,我们必须理解该题目,必须清楚地看到所要求的是什么。第二,我们必须了解各个项目是如何相关的,未知量和数据之间有什么关系,以得到解题的思路,拟订方案。第三,我们执行我们的计划。第四,我们回顾所完成的解答,检查和讨论它。”
3.弄清题意存在的障碍
解题的四个阶段中,弄清题义是解题的第一个环节,在数学上我们一般称它为“审题”。所谓审题,就是要求学生仔细读题目,理清哪些是已知的,哪些是未知的,哪些是要求的结论,它们之间有什么内在联系,要对问题进行全面的认识,弄清问题中涉及的概念、术语和关键词语的真实含义,在已学过的知识中,哪些理论知识与要解决的问题有关,为解答遇到的问题做好思想准备。
4.制订解题计划时易出现的障碍或失误
制订解题计划是解题过程中一个比较重要的环节,在这个环节中,学生一般比较容易受到阻碍,大部分的学生之所以所解的题目不正确,问题都出在这个环节中。
制订解题计划也就是我们经常所说的寻找解题思路。经过对学生的调查以及对教师的走访,可以发现学生在寻找解题思路中所遇到的障碍基本如下:对定义、公式等理解不深刻所造成的障碍;思路所造成的寻找解题思路的障碍;解题的过程是从题目的条件不断向解题目标变形、靠近的过程。因此,用解题目标给自己的解题思路导航是最自然的。
5.学生实现解题计划时遇到的问题
弄清题意、寻找解题思路是解题的两个重要环节,而这两个环节都是要为实现解题计划服务的。学生弄清题意与寻找到解题思路之后,就会着手于实现解答的叙述。学生在实现解答叙述时也往往会遇到这样或那样的问题。学生对概念、公理、定理等理解不深刻,会造成实现解题计划时对其应用不善;学生有思维惰性,在解题过程中不求甚解,浅尝辄止,会造成解题时顾此失彼,错误百出。
(作者单位:江西省赣州市南康区唐江中学)