摘要:根据笔者在教学中积累的资料,从不同角度概括出求一元函数极限的五种常用的求解技巧.
关键词:数学分析;函数极限;求解技巧
本文在原有知识体系的基础上加以整理和归纳,针对一元函数极限概括出具有代表性的各种求解方法,并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性,使学生对所学知识加以巩固和提高,提高解题能力,起到“温故”而“知新”的作用,在原有基础上得到升华,从而对数学分析及相关的后续课程的学习起到抛砖引玉的作用.
函数极限的求解方法大致可以分为以下几种:
一、代入法(四则运算法则的应用)
求解技巧:①只有在各项极限均存在(除式还需要分母极限不为零)才能适用.②若所求极限不能直接运用运算法则,可先对原式进行恒等变形(约分、通分、有理化、分子分母同除以x的最高次幂等),然后再求极限.③四则运算法则的一个重要推论lim[f(x)]n=[limf(x)]n.④复合函数求极限法则limg[f(x)]=g[limf(x)](这里极限号lim下方未标明x的变化过程,表示对极限的任何一个变化过程都成立,下同).
二、重要极限法
在函数极限部分,我们来看两个经常用到的极限,它们的具体形式为:①?摇lim■=1,②?摇?摇■?摇?摇(1+■)x=e
求解技巧:①把■■=1扩展为■■=1,其中必须保持当x→a时f(x)以0为极限,且分子、分母中的f(x)必须完全一样.②把?摇■?摇?摇(1+■)x=e扩展为?摇■?摇?摇(1+g(x))■=e,其中必须保持当x→a时g(x)以0为极限,且g(x)与■要在形式上对应.③利用四则运算法则及推论.
三、无穷小量替代法
求解技巧:①等价代换是对分子或分母的整体替换(或对分子、分母的因式进行替换),而对分子或分母中的“+”、“-”号连接的各部分不能作替换②而对分子或分母中的“+”、“-”号连接部分可先作恒等变形成乘积形式再替换
四、性质法(迫敛性和连续性)
求解技巧:①构造左右两边具有同一极限的双向夹逼不等式,适当放大或缩小.②一切基本初等函数都是其定义域是上的连续函数.③任何初等函数都是在其定义域区间上的连续函数.
五、洛比达法则
求解技巧:只有■型和■型不定式才能应用洛比达法则.法则是由lim■存在,导出lim■是存在的,如果lim■不存在时(不包括∞的情形),并不能断定lim■也不存在,这时应使用其他方法.若■■仍为■型和■型的不定式,并且f"(x),g"(x)满足洛比达法则的条件,则可继续使用洛比达法则,即■■=■■=■■,依此类推,直到求出极限为止.除了■型和■型不定式外,还有0·∞?摇?摇,?摇∞-∞?摇,?摇?摇00,?摇?摇1∞,?摇?摇∞0等五种类型的不定式,这些不定式极限的求解方法是先把它们化为■型和■型的不定式,然后用洛比达来计算.
以上归纳和总结了五种求解一元函数极限的常用方法和技巧,在解决具体问题时,还需要根据实际情况灵活应用求解技巧,只有熟练掌握这部分内容,才能进一步理解函数极限的概念,同时也是学好高等数学的关键.
参考文献:
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