【摘 要】 极限概念是微积分学的灵魂,本文主要介绍了极限概念和微积分的关系,认为极限概念贯穿了微积分全部,主张在教学中既要注重传授数学知识,也要注重传授极限思想,培养学生的数学思维,应用数学知识解决现实问题。
【关键词】 极限概念;微积分;数学思维
一、极限概念和微积分学的关系
众所周知,数学是一门基础学科,它的应用范围之广是任何其它学科所无法比拟的。它涉足一切的自然科学、社会科学和各个经济领域,堪称“学科先锋”。学好数学的关键是思维,思维是数学的灵魂所在。运用数学思想、数学方法思考和解决问题,不仅可以培养人们科学的世界观,而且可以使人们在解决任何实际问题时具备严谨的科学态度。而在数学领域中有一个重要分支——微积分,它是解决某些实际问题的一个及其重要的数学工具,它在数学学科中占举足轻重的地位。所以,我们不能忽视对微积分的学习和研究。
微积分的核心内容是“微分学“和”积分学“两大部分。“微分学”解决了“函数变化率”问题与“函数增量”问题。其中,“函数变化率”问题引出了“导数”概念。“函数增量”问题引出了“微分”概念;而“积分学”解决了求“原函数”问题和求“和的极限”问题。其中,求“原函数”问题引出了“不定积分”概念。“和的极限”引出了“定积分”概念。导数、微分、不定积分、定积分这四个概念虽然各不相同,但它们存在着极其密切的关系,即他们的概念中都贯穿了极限概念。
微积分是以函数为研究对象,以极限为研究工具,以微分与积分为研究方法,而微积分中的基本概念,诸如导数、连续、不定积分、定积分等很突出的体现了极限这一工具的作用,所以极限的概念是贯穿微积分全部的一个极其重要的概念,也是一个难以理解的概念,故在微积分的学习中,应把极限的概念当作一个重点,只有对极限的概念理解透彻,才有助于理解其它概念,通过极限这条主线,就可以将微积分中的其它概念连起来,起到以点代面的作用。
从形象思维中建立抽象思维与逻辑思维的过程中,概念是至关重要的,它是内容的基础,是逻辑推理的理论基础,是合理、正确、快速建立逻辑思维的一个引导过程。只有对概念分析、理解深刻、透彻,逻辑和抽象思维才能快速建立起来,对所遇到的问题就迎刃而解了。笔者认为,在微积分的学习中,这种方法很值得提倡。
什么是极限,这是一个使所有初学微积分理论者感到既简单而又困惑的概念。极限是用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。就是在自变量的某变化过程中,因变量无限接近于某一确定的数,这个数称为在此变化过程中的极限。对于极限这一概念在数学上已给出了确切的描述,下面以x→x0时函数极限为例,对极限概念做一浅析。
定义:设函数f(x)在x0的左右两侧附近有定义,存在一个确定的常数A,当x无限趋近于x0时,f(x)无限趋近于A,则称A为x→x0时的极限,记为f(x)→A(x→x0)。
如何理解极限概念呢?笔者认为以下几点可供参考:
将上述定义进行划分,其实就由三句构成。第一句着重理解“左右两侧”和“有定义”。在定义中只谈到x0左右两侧,并没有刻意强调x0点的定义,其实质含义是指如果设f(x)的定义域为D,则x0属于D或不属于D与f(x)有无极限无关。“有定义”即为“有意义”,假设xi-1 综上,应该这样理解极限概念,极限作为过程是潜无限的,作为结果是实无限的;极限是过程和结果的统一,也是双向无限的原型。 极限概念贯穿了微积分全部,因此它是一个基础,在此基础上,有连续、导数、定积分等概念。在真正理解极限概念的基础上,把它们通俗化,更便于学生理解。在连续定义中,就用到了极限概念。 在引出导数概念时,分别从几何和物理方面举例,然后抛开其几何和物理意义,从数学躯干总结出一个共同的表达式,把这个未曾见过的数学计算结果赋给导数之称,从而就有了导数定义。其实不难看出,导数只是一个名字,而其实质是一个极限值。 在微积分的其它概念中,都关联了极限概念,不再赘述。所以笔者认为:“搭上极限概念的脉,就等于抓住了微积分的主脉”。 二、极限理论的教学 极限理论是数学分析的灵魂,是微积分理论的基础,贯穿于微积分理论的始终。数学教学不仅是数学理论的教学,而且也承担着提高学生的数学素质的任务,通过数学教学潜移默化地建立学生的数学思想和数学思维。在微积分理论教学中,极限思想的树立是微积分理论教学的一个基本点,而且也是一个难点。学生在最初接触微积分理论首先碰到的就是极限概念,而且是由初等数学到变量数学思维上的一个转变过程,这也是令初学者对极限概念感到困惑和难以理解的原因之所在;其次,由于学生在进入大学学习之前对实数理论的完备性没有较为深刻的认识和理解,对建立在完善的实数理论基础上的极限概念的把握存在一定难度;再者,从直观理解到准确、严谨而严密的数学刻画有一个过程。对于一个数学教师,确立数学分析中的极限思想一般要经过多年的大学数学理论的系统学习。对学生而言,在短短几年内把握微积分理论的极限思想是比较困难的。关于极限概念,在教学过程中不必去回避,而应结合教学内容不断的深化。数学教学一般应采取以下方式以便学生更好的把握数学思想:把孤立的事实与有关的事物作对照;把新的发现与已熟知的知识相联系;把不习惯的与习惯的相类比;把特殊的结论加以推广;把一般的结果给予适当的特殊化;把复杂情况分解为组成的部分;把细节通过概括获得全貌。学生在首次接触“ε-N”、“ ε-δ”时,很难理解和接受这样的语言,教学过程中要采取从有限到无限,从初等数学到变量数学的过渡的办法,反复的,类比的方法。如果学生不能接受,不应丧失信心,而是随着连续函数、导数、微分、积分、无穷级数等概念的引入,在逐步建立完善的实数理论思想的前提下,引导学生深入理解、体会极限思想,以至构造完美的微积分理论体系。经过反复的利用极限概念,反复学习训练,逐步培养学生的数学思维,完整确立数学分析中的极限思想,更好的掌握数学知识,应用数学知识解决现实问题。 【参考文献】 [1] 微积分,中国人民大学出版社. [2] 曹之江著.微积分简明教程(上)北京:高等教学出版社,2000.